Lemat o pięciokącie

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ A_1...A_5}\) będzie pięciokątem wypukłym, a punkty \(\displaystyle{ M_1, M_2 , M_3 , M_4}\) środkami boków \(\displaystyle{ A_1 A_2, \ A_2A_3 , \ A_3A_4 , \ A_4A_5}\) odpowiednio; zaś \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem \(\displaystyle{ M_1M_3}\) a \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem \(\displaystyle{ M_2M_4}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ A_1A_5}\) są równoległe.

[Pinionrzek]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ M_2M_3}\). Zauważmy, że zachodzi \(\displaystyle{ QX \parallel M_3M_4 \parallel A_5A_3, PX \parallel M_1M_2 \parallel A_1A_3}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{A_5A_3}{QX}= \frac{A_1A_3}{PX}=4}\), zatem trójkąty \(\displaystyle{ A_1A_3A_5}\) i \(\displaystyle{ PXQ}\) są podobne, więc również \(\displaystyle{ PQ \parallel A_1A_5}\).