Na średnicy AB

[Dario1]

Na średnicy AB danego półkola obieramy dowolny punkt C i kreślimy półokręgi o średnicach AC i CB zawarte w danym półkolu. Wykaż, że pole figury ograniczonej tymi trzema półokręgami równa się polu koła, którego średnicą jest odcinek prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez C, zawarty w danym półkolu.

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu zwłaszcza, że wyszło mi, że to nie jest prawda:

Oznaczmy promień dużego półkola przez R, promień dwóch mniejszych przez r1 i r2. Wówczas pole figury ograniczonej tymi trzema półokręgami równa się polu dużego półkola minus dwa mniejsze czyli
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\pi R ^{2}-\frac{1}{2}\pi r _{1} ^{2}-\frac{1}{2}\pi r _{2} ^{2}}\).
Natomiast długość szukanego odcinka z twierdzenia pitagorasa (bo ten odcinek w sumie ze średnicą i dwoma bokami tworzy trójkąt prostokątny oparty na średnicy) wynosi \(\displaystyle{ S _{r}= \sqrt{r _{1} r _{2} }}\) stąd pole koła wynosi \(\displaystyle{ \pi r _{1}r _{2}/4}\). Natomiast po przyrównaniu obu pól: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\pi R ^{2}-\frac{1}{2}\pi r _{1} ^{2}-\frac{1}{2}\pi r _{2} ^{2}=\pi r _{1}r _{2}/4}\) otrzymujemy po przekształceniach: \(\displaystyle{ r _{1} ^{2}+r _{2} ^{2}=0}\) co jest sprzeczne z założeniem. Gdzie robię błąd? Alby czy w zadaniu jest błąd?

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ S_r=\sqrt{4r_1r_2}}\)

[Dario1]

A czemu tak? Gdzie w moich obliczeniach jest błąd?

[kruszewski]

Nie będę się wymądrzał; rozwiązanie problemu jest tu:
... 9-hipo.pdf

[SlotaWoj]

To co napisałem uprzednio wykorzystałeś (jawnie lub niejawnie). Znalazłem błąd i zmieniłem poprzedni post.

[Dario1]

SlotaWoj czemu \(\displaystyle{ S_r=\sqrt{4r_1r_2}}\). Skąd to się wzieło? A nawet z tym licząc to wynik i tak jest nieprawidłowy.

kruszewski to rozwiązanie jest napisane dosyć enigmatycznie. Można od początku krok po kroku?

[SlotaWoj]

W trójkącie prostokątnym wysokość \(\displaystyle{ h}\) poprowadzona z kąta prostego jest średnią geometryczna długości części, na które dzieli ona przeciwprostokątną, a są one równe \(\displaystyle{ 2r_1}\) i \(\displaystyle{ 2r_2}\).

• \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\pi R^2-\frac{1}{2}\pi r _1^2-\frac{1}{2}\pi r _2^2= \\
  =\frac{\pi}{2}\left((r_1+r_2)^2-r_1^2-r_2^2\right)= \\
  =\frac{\pi}{2}2r_1r_2=\frac{\pi}{4}4r_1r_2=\frac{\pi}{4}S_r^2=\frac{\pi}{4}h^2}\)

[Dario1]

No tak pomyliłem średnicę z promieniami. Dzięki.