punkt w nieskonczoności i biegunowe, pytanie

[wielkireturner]

Mam dane zadanie:

Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku w \(\displaystyle{ I}\) wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) w punktach \(\displaystyle{ D,E,F}\). Punkty \(\displaystyle{ M, N}\) są środkami odpowiednio odcinków \(\displaystyle{ AB, BC}\). Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ MN, EF, CI}\) są współpękowe.

Rozwiązanie korzysta z tego, że biegunem prostej \(\displaystyle{ CI}\) jest \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\), dlatego współliniowość biegunów prostych \(\displaystyle{ MN, EF, CI}\) jest oczywista.

Teraz, moim pytaniem jest, czy dla prostych \(\displaystyle{ BI}\) i \(\displaystyle{ AI}\) wynikałoby, posługując się analogiczną metodą, że przecinają się w jednym punkcie z \(\displaystyle{ MN, EF}\)?

[timon92]

nie

[wielkireturner]

Dlaczego?

[timon92]

biegunem prostej \(\displaystyle{ CI}\) jest punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ AB}\), a biegunami prostych \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\) są punkty w nieskończoności prostych \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\)

jak widać to są zupełnie inne punkty, więc nie ma żadnego powodu, dla którego można by tak wnioskować

[wielkireturner]

biegunem prostej \(\displaystyle{ CI}\) jest punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ AB}\), a biegunami prostych \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\) są punkty w nieskończoności prostych \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\)

jak widać to są zupełnie inne punkty, więc nie ma żadnego powodu, dla którego można by tak wnioskować

A czy można powiedzieć o biegunie prostej \(\displaystyle{ CI}\) powiedzieć, że jest punktem w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ ED}\)?
edit: Dlaczego biegun prostej \(\displaystyle{ CI}\) jest punktem w nieskończoności prostej akurat \(\displaystyle{ AB}\)?

[timon92]

sorki, źle mi się napisało

masz rację, biegunem prostej \(\displaystyle{ CI}\) jest punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ DE}\) i tak samo źle napisałem bieguny \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\)

[wielkireturner]

sorki, źle mi się napisało

masz rację, biegunem prostej \(\displaystyle{ CI}\) jest punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ DE}\) i tak samo źle napisałem bieguny \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\)

Nic się nie stało. Jak w takim razie logicznie uzasadnić, że akurat punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ DE}\) - biegun \(\displaystyle{ CI}\) jest współliniowy z biegunami prostych \(\displaystyle{ MN, EF}\)?
edit: I jeszcze jak w rozwiązaniu zadania napisano, że punkt \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\) ma kierunek \(\displaystyle{ DB}\), jest to zgodne z prawdą, a jeśli tak, to czym różni się kierunek od prostej, na której punkt \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\) leży?

[timon92]

Jak w takim razie logicznie uzasadnić, że akurat punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ DE}\) - biegun \(\displaystyle{ CI}\) jest współliniowy z biegunami prostych \(\displaystyle{ MN, EF}\)?

musisz pokazać, że prosta przechodząca przez bieguny prostych \(\displaystyle{ MN}\) i \(\displaystyle{ EF}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ DE}\)

[wielkireturner]

Jak w takim razie logicznie uzasadnić, że akurat punkt w nieskończoności prostej \(\displaystyle{ DE}\) - biegun \(\displaystyle{ CI}\) jest współliniowy z biegunami prostych \(\displaystyle{ MN, EF}\)?

musisz pokazać, że prosta przechodząca przez bieguny prostych \(\displaystyle{ MN}\) i \(\displaystyle{ EF}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ DE}\)

A, okej, to jest oczywiste, dzięki. Jeszcze jakbyś mógł odnieść się do tego 'Jjak w rozwiązaniu zadania napisano, że punkt \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\) ma kierunek \(\displaystyle{ DB}\), czy jest to zgodne z prawdą, a jeśli tak, to czym różni się kierunek od prostej, na której punkt \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\) leży?' byłoby znakomicie.

[timon92]

jak w rozwiązaniu zadania napisano, że punkt \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\) ma kierunek \(\displaystyle{ DB}\), czy jest to zgodne z prawdą, a jeśli tak, to czym różni się kierunek od prostej, na której punkt \(\displaystyle{ X^{ \infty }}\) leży?

chyba \(\displaystyle{ DE}\) ale mniejsza z tym

różni autorzy podręczników do geometrii rzutowej używają różnych terminów, ale z kontekstu wiadomo o co chodzi

zazwyczaj mówi się, że do każdej prostej "dorzucamy" punkt w nieskończoności (często nazywa się go kierunkiem tej prostej), przy czym umawiamy się, że równoległe proste mają ten sam kierunek oraz że wszystkie kierunki leżą na tzw. prostej w nieskończoności

to co zacytowałeś należy rozumieć tak, że \(\displaystyle{ X^\infty}\) jest kierunkiem (czyli punktem w nieskończoności) prostej \(\displaystyle{ DE}\)

pozdro