biegunowe, punkt Nagela

[wielkireturner]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku \(\displaystyle{ I}\) dopisany do prostej \(\displaystyle{ BC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ D,E,F}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ C}\) na prostą \(\displaystyle{ BI}\). Prosta \(\displaystyle{ CP}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami odpowiednio odcinków \(\displaystyle{ AB, AC}\). Proste \(\displaystyle{ MN, DE}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Prosta \(\displaystyle{ SQ}\) jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\). (możliwość nadmiernej porcji informacji) Wykazać, że:

a) Jeśli punkty \(\displaystyle{ S_{1},S_{2},S_{3}}\) to ortocentra odpowiednio trójkątów \(\displaystyle{ BIC, CIA, AIB}\), to powstałe trójkąty \(\displaystyle{ AS_{2}S_{3}, BS_{1}S_{3}, CS_{1}S_{2}}\) mają wspólne ortocentrum - jest nim punkt Nagela trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

b) trójkąty \(\displaystyle{ ABC, S_{1}S_{2}S_{3}}\) mają równe pola

c) Niech punkty \(\displaystyle{ M,N,K}\) będą środkami boków \(\displaystyle{ BC, CA,AB}\) w tej kolejności. Rozważamy punkt \(\displaystyle{ X}\) przecięcia prostej \(\displaystyle{ NK}\) z prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ IM}\) przechodzącą przez środek odcinka \(\displaystyle{ ID}\). Analogicznie definiujemy punkt \(\displaystyle{ Y, Z.}\) Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ X, Y,Z}\) leżą na biegunowej punktu Nagela trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) względem okręgu \(\displaystyle{ \omega}\).