ortocentrum trójkąta, biegun linii środkowej

[wielkireturner]

Dany jest lemat: Niech okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ I}\) wpisany będzie w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Niech punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) będą środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Wówczas biegunem prostej \(\displaystyle{ MN}\) względem \(\displaystyle{ \omega}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ BIC}\).

Teraz na podstawie tego lematu mam udowodnić, że prawdziwy jest inny lemat:
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ I}\) dopisany do boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do prostych \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Dowieść, że wówczas ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ BIC}\) jest biegunem prostej \(\displaystyle{ MN}\) względem \(\displaystyle{ \omega}\).

[Michalinho]

Wrzucę moje pałowe rozwiązanie, ale lepszego nie wymyśliłem.
Oznaczymy:
1) Środek okręgu wpisanego \(\displaystyle{ \sigma}\) \(\displaystyle{ O}\), a jego punkt styczności z \(\displaystyle{ BC}\) jako \(\displaystyle{ K}\),
2) \(\displaystyle{ MN\cap OK=Q}\), \(\displaystyle{ \sigma \cap OK=P}\),
3) Ortocentrum \(\displaystyle{ OBC}\) jako \(\displaystyle{ L}\),
4) Ortocentrum \(\displaystyle{ IBC}\) jako \(\displaystyle{ H}\),
5) \(\displaystyle{ DH\cap MN=S}\),
6) Okrąg opisany na czworokącie \(\displaystyle{ BICO}\) jako \(\displaystyle{ \sigma_2}\),
7) \(\displaystyle{ DH\cap \omega = W}\).

Po tych wszystkich oznaczeniach zaczynamy rozwiązywać.
Łatwo udowodnić, że \(\displaystyle{ HL\parallel IO}\) (trzeba zauważyć, że odcinek \(\displaystyle{ HL}\) jest jednokładny do \(\displaystyle{ OI}\) względem środka \(\displaystyle{ BC}\)).
Ponadto punkty \(\displaystyle{ H', L'}\) symetryczne do punktów \(\displaystyle{ H, L}\) względem prostej \(\displaystyle{ BC}\) leżą na \(\displaystyle{ \sigma_2}\)
Z tych faktów wynikają następujące wnioski:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
LK=KL'=DI=\frac{1}{2}DW=\frac{1}{2}(DH+HW) \\
PK=2OK=2H'D=2DH \\
QK=SD\\
LP=LK-PK=\frac{1}{2}HW-\frac{3}{2}DH\\
QP=QK-PK=SD-2DH
\end{cases}}\)

Z danego lematu mamy \(\displaystyle{ (L, Q; P, K)=-1}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{LP}{QP}:\frac{LK}{QK}=-1}\)
Podstawiając w nim powyższe równości mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}HW-\frac{3}{2}DH}{SD-2DH}:\frac{\frac{1}{2}(DH+HW)}{SD}=-1}\), co po rozwinięciu i redukcji daje:

\(\displaystyle{ HW\cdot SD+HD\cdot(SD+DH+HW)=0\Leftrightarrow HW\cdot SD+HD\cdot SW=0\Leftrightarrow (S,H;D,W)=-1}\), skąd wynika teza.