W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) i okrąg opisany \(\displaystyle{ O}\) na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ M}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ M}\) promienia \(\displaystyle{ MB}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ D}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\).
a) Z czego wynika, że styczna \(\displaystyle{ k}\) do okręgu \(\displaystyle{ O}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\)?
b)Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie punktem przecięcia \(\displaystyle{ k}\) z \(\displaystyle{ l}\).. Z czego wynika \(\displaystyle{ (P,Q;D,S)=1}\)?
c) Jak z \(\displaystyle{ (P,Q;D,S)=1}\) i z faktu w punkcie a) wynika, że prosta \(\displaystyle{ AD}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ PAQ}\)?
biegunowe i dwustosunek 1
-
wielkireturner
- Użytkownik
- Posty: 403
- Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: London ChinaTown
- Podziękował: 151 razy
- Pomógł: 4 razy
-
Pinionrzek
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
biegunowe i dwustosunek 1
a) To jest nieprawdą. Zachodzi to jedynie dla trójkąta równoramiennego.
b) Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\), a \(\displaystyle{ I_A}\) środkiem okręgu dopisanego do \(\displaystyle{ ABC}\) naprzeciwko \(\displaystyle{ A}\). Znanym faktem jest to, że \(\displaystyle{ BI_ACI}\) jest cykliczny. Ponadto z racji tego, że \(\displaystyle{ \angle ABI = \angle IBD}\) oraz \(\displaystyle{ \angle I_ABI=90^{\circ}}\), dostajemy \(\displaystyle{ (A, D; I, I_A)=1}\). Jeśli nie znasz tego faktu, możesz go łatwo dowieść, używając twierdzeń o dwusiecznych kąta wewnętrznego i zewnętrznego. Wynika z tego, że \(\displaystyle{ A}\) leży na biegunowej \(\displaystyle{ D}\) względem \(\displaystyle{ \omega}\), więc tą biegunową jest prosta prostopadła do \(\displaystyle{ ID}\) w \(\displaystyle{ A}\), czyli jest nią \(\displaystyle{ AS}\). Na mocy twierdzenia La Hire( o wzajemności biegunowych) wynika, że \(\displaystyle{ D}\) leży na biegunowej \(\displaystyle{ S}\) względem \(\displaystyle{ \omega}\), więc \(\displaystyle{ (P, Q; D, S)=1}\).
c) Wynika to z lematu, którego szkic dowodu Ci opisałem w jednym z wcześniejszych zadań. Możesz w ramach ćwiczenia dowieść, że każde dwa z tych warunków implikują trzeci(hint do jednego przykładu dostałeś już w b)).
b) Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\), a \(\displaystyle{ I_A}\) środkiem okręgu dopisanego do \(\displaystyle{ ABC}\) naprzeciwko \(\displaystyle{ A}\). Znanym faktem jest to, że \(\displaystyle{ BI_ACI}\) jest cykliczny. Ponadto z racji tego, że \(\displaystyle{ \angle ABI = \angle IBD}\) oraz \(\displaystyle{ \angle I_ABI=90^{\circ}}\), dostajemy \(\displaystyle{ (A, D; I, I_A)=1}\). Jeśli nie znasz tego faktu, możesz go łatwo dowieść, używając twierdzeń o dwusiecznych kąta wewnętrznego i zewnętrznego. Wynika z tego, że \(\displaystyle{ A}\) leży na biegunowej \(\displaystyle{ D}\) względem \(\displaystyle{ \omega}\), więc tą biegunową jest prosta prostopadła do \(\displaystyle{ ID}\) w \(\displaystyle{ A}\), czyli jest nią \(\displaystyle{ AS}\). Na mocy twierdzenia La Hire( o wzajemności biegunowych) wynika, że \(\displaystyle{ D}\) leży na biegunowej \(\displaystyle{ S}\) względem \(\displaystyle{ \omega}\), więc \(\displaystyle{ (P, Q; D, S)=1}\).
c) Wynika to z lematu, którego szkic dowodu Ci opisałem w jednym z wcześniejszych zadań. Możesz w ramach ćwiczenia dowieść, że każde dwa z tych warunków implikują trzeci(hint do jednego przykładu dostałeś już w b)).