Trójkąt o wysokościach

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: Dario1 »

Wykaż, że trójkąt o wysokościach \(\displaystyle{ 12, 15}\) i \(\displaystyle{ 20}\) jest trójkątem prostokątnym.

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Zakładam, że przyprostokątne to \(\displaystyle{ 20}\) i \(\displaystyle{ 15}\), a wysokość \(\displaystyle{ 12}\). Wtedy \(\displaystyle{ 15^{2}+20 ^{2}=25 ^{2}}\). Wysokość \(\displaystyle{ 12}\) podzieli ten trójkąt na \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty prostokątne. A więc \(\displaystyle{ 15 ^{2}-12 ^{2}=9 ^{2}}\) i \(\displaystyle{ 20^{2}-12 ^{2}=16 ^{2}}\). Otrzymujemy zatem boki \(\displaystyle{ 16}\) i \(\displaystyle{ 9}\) które w sumie dają \(\displaystyle{ 25}\) co podniesione do kwadratu daje \(\displaystyle{ 25 ^{2}}\). Zatem trójkąt jest prostokątny.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: mortan517 »

Według mnie jest źle, bo wychodzisz od tezy. Zakładasz sobie, że \(\displaystyle{ 20}\) oraz \(\displaystyle{ 15}\) to przyprostokątne, a to właśnie masz chyba wykazać.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: a4karo »

Racja, ten dowód nie jest poprawny.

Wsk. \(\displaystyle{ ah_a=2S=...}\)
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: Medea 2 »

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: Dario1 »

A czemu źle? To może inaczej. Jeśli boki trójkąta spełniają zależność \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}=c ^{2}}\) to taki trójkąt jest prostokątny. Zatem jeśli zbuduję trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ x,12,15,}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 12}\) to przyprostokątne, a \(\displaystyle{ 15}\) przeciwprostokątna i drugi o bokach \(\displaystyle{ y,12,20}\) o analogicznych oznaczeniach to jeśli złożę potem te trójkąty w całość wysokością \(\displaystyle{ 12,}\) tak, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą tworzyć jeden bok to jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ 15 ^{2}+20 ^{2}=\left( x+y\right) ^{2}}\) to będzie to oznaczać, że trójkąt jest prostokątny, a tak tu właśnie jest. Zgadza się czy nie?
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: mortan517 »

Bo z miejsca zakładasz, że masz trójkąt prostokątny, który dzielisz na dwa prostokątne. To jest złe. Musisz narysować sobie trójkąt (dowolny) i dopiero wykazać, że jest prostokątny.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: Dario1 »

To jak w takim razie?
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: mortan517 »

Skorzystaj ze wskazówki a4karo.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: SlotaWoj »

Dario1 pisze:A czemu źle? To może inaczej. Jeśli boki trójkąta spełniają zależność \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}=c ^{2}}\) to taki trójkąt jest prostokątny. Zatem jeśli zbuduję trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ x,12,15,}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 12}\) to przyprostokątne, a \(\displaystyle{ 15}\) przeciwprostokątna i drugi o bokach \(\displaystyle{ y,12,20}\) o analogicznych oznaczeniach to jeśli złożę potem te trójkąty w całość wysokością \(\displaystyle{ 12,}\) tak, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą tworzyć jeden bok to jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ 15 ^{2}+20 ^{2}=\left( x+y\right) ^{2}}\) to będzie to oznaczać, że trójkąt jest prostokątny, a tak tu właśnie jest. Zgadza się czy nie?
Tu już jest dobrze, bo każdy trójkąt jest sumą lub różnicą dwóch trójkątów prostokątnych.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: Dario1 »

Czyli jednak dobrze? Dzięki. A jeśli można to jak w takim razie zrobić to w inny sposób?
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: mortan517 »

Ze wskazówki a4karo:
\(\displaystyle{ 2S=ah_a=bh_b=ch_c \\ 12a=15b=20c}\)

Z tej równości wnioskujemy, że najdłuższy jest bok \(\displaystyle{ a}\), więc powinno zachodzić:
\(\displaystyle{ b^2+c^2=a^2 \\ \left( \frac{12}{15} a\right)^2 + \left( \frac{12}{20} a\right)^2 = a^2}\)

I faktycznie zachodzi.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: SlotaWoj »

mortan517 pisze:Bo z miejsca zakładasz, że masz trójkąt prostokątny, który dzielisz na dwa prostokątne.
Nie prawda.

W dowodzie z postu z 26 lip 2015, o 20:55 konstruuje trójkąt będący sumą dwóch trójkątów prostokątnych i stwierdza, że ta suma też jest trójkątem prostokątnym.

Dowód należy uznać za poprawny. Oczywiście możliwe są też inne dowody, np. ten wskazany przez A4karo.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: a4karo »

SlotaWoj pisze:
mortan517 pisze:Bo z miejsca zakładasz, że masz trójkąt prostokątny, który dzielisz na dwa prostokątne.
Nie prawda.

W dowodzie z postu z 26 lip 2015, o 20:55 konstruuje trójkąt będący sumą dwóch trójkątów prostokątnych i stwierdza, że ta suma też jest trójkątem prostokątnym.

Dowód należy uznać za poprawny. Oczywiście możliwe są też inne dowody, np. ten wskazany przez A4karo.

Stwierdzenie mortan517 odnosiło się do pytania "A czemu źle?" i jest w pełni zasadne. bo pierwszy dowód był skopany. To, że po pytaniu podano inny, poprawny dowód, nie zmienia tego faktu.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: mortan517 »

Zgadza się, mój post dotyczył pierwszego dowodu.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Trójkąt o wysokościach

Post autor: Dario1 »

Pierwszy dowód to była gorsza wersja drugiego. Grunt, że w końcu jest ok.
ODPOWIEDZ