Największe pole

[mint18]

Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD \ (AB||CD)}\). Na podstawie \(\displaystyle{ AB}\) wybieramy punkt \(\displaystyle{ K}\), zaś na podstawie \(\displaystyle{ CD}\) punkt \(\displaystyle{ L}\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) będzie częścią wspólną trójkątów \(\displaystyle{ ABL}\) i \(\displaystyle{ DCK}\). Przy jakim położeniu punktów \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) figura \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) ma największe pole?

[kerajs]

Wydaje się mi , iż punkty K, L powinny leżeć na prostej przecinającej podstawy trapezu i przechodzącej przez wierzchołek kąta którego ramiona zawiarają nierównoległe boki trapezu.
Pole F ma wtedy wartość
\(\displaystyle{ F= \frac{ab}{(a+b)^2}P}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) to podstawy trapezu o polu \(\displaystyle{ P}\).

[bakala12]

kerajs, A co w przypadku gdy trapez jest równoległobokiem?

Nietrudno jest pokazać, że pole figury \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola trapezu. Aczkolwiek równość w tej nierówności może zajść tylko wtedy gdy trapez będzie równoległobokiem. Więc dla równoległoboku maksimum to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola trapezu, co daje wynik taki sam jak wzór podany przez kerajsa powyżej. Dlatego też, skłaniam się do stwierdzenia, że rzeczywiście maksimum wynosi właśnie tyle, ale dowodu nie mam.

[kerajs]

kerajs, A co w przypadku gdy trapez jest równoległobokiem?

Wtedy K i L leżą na dowolnej prostej równoległej do boków równoległoboku i go tnącej. I wtedy pole F to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola równoległoboku.

(Jeśli przyjąć że wierzchołek kąta, którego ramiona kata zawierające boki równoległoboku, leży nieskończenie daleko to stwierdzenie z poprzedniego postu też będzie prawdziwe.)

[Elayne]

Jeśli przyjąć założenie że punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) leżą w wierzchołkach trapezu: \(\displaystyle{ K=A}\) i \(\displaystyle{ L=D}\) lub \(\displaystyle{ K=B}\) i \(\displaystyle{ L=C}\) wtedy częścią wspólną jest trójkąt.