Jakie muszą być długości boków

[Dario1]

Jakie muszą być długości boków prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\). aby istniała prosta dzieląca dany prostokąt na dwa prostokąty, z których każdy jest podobny do prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\)?

[kerajs]

Prosta ta przechodzi przez środki dłuższych boków.
Dla \(\displaystyle{ a<b}\) masz równość stosunku odpowiednich boków wynikającą z podobieństwa:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{ \frac{b}{2} }{a} \Rightarrow b=a \sqrt{2}}\)

[Dario1]

A można to jakoś lepiej rozpisać? Może bardziej obrazowo. Bo nie do końca rozumiem.-- 26 lip 2015, o 19:58 --A można utworzyć jakiś układ równań prowadzący do rozwiązania? Czy musimy wpaść na to, że to będzie połowa boku, czy jakoś można do tego dojść poprzez równania?

[kerajs]

Niech prostokąt ma boki : \(\displaystyle{ a \ , \ b \ (a<b)}\), a prostokąty uzyskane z podziału : \(\displaystyle{ a ^{'} \ , \ b^{'} \ (a^{'} <b^{'} )}\) oraz \(\displaystyle{ a ^{''} \ , \ b^{''} \ (a^{''} <b^{''} )}\)
Aby prostokąty były podobne to powinna zachodzić proporcja:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{a^{'}}{b^{'}}= \frac{a^{''}}{b^{''}}}\)

1. Tniemy prostokąt prostą równoległą do dłuższego boku (b). Wtedy :
\(\displaystyle{ b^{'}=b^{''}=b}\) oraz \(\displaystyle{ a=a^{'}+a^{''}}\), a proporcja ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{a^{'}}{b}= \frac{a^{''}}{b}}\)
co prowadzi do równości :\(\displaystyle{ a=a^{'}=a^{''}}\)
a uwzględniając warunek \(\displaystyle{ a=a^{'}+a^{''}}\) dostajesz :\(\displaystyle{ a=a^{'}=a^{''} =0}\)
Wniosek: Takim cięciem nie da się uzyskać prostokątów podobnych.

2.Tniemy prostokąt prostą równoległą do krótszego boku (a). Wtedy :
\(\displaystyle{ b^{'}=b^{''}=a}\) oraz \(\displaystyle{ b=a^{'}+a^{''}}\),a proporcja ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{a^{'}}{a}= \frac{a^{''}}{a}}\)
z równań : \(\displaystyle{ \frac{a^{'}}{a}= \frac{a^{''}}{a}}\) i \(\displaystyle{ b=a^{'}+a^{''}}\) dostajesz : \(\displaystyle{ a^{'}=a^{''}= \frac{b}{2}}\)
co prowadzi do proporcji z mojego poprzedniego postu:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{\frac{b}{2} }{a}= \frac{\frac{b}{2} }{a}}\)

[Dario1]

No ok rozumiem. Chociaż ciężko było ten układ wyprowadzić.