Długości boków trójkąta
-
Dario1
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Długości boków trójkąta
Długości boków trójkąta \(\displaystyle{ A'B'C'}\) są równe długościom odpowiednich środkowych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przy założeniu że pole trójkąta \(\displaystyle{ A'B'C'=S}\).
-
nelcia27
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 21 kwie 2015, o 16:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ***
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 4 razy
Długości boków trójkąta
Wskazówka: narysuj sobie trójkąt ABC, a w nim środkowe; zaznacz też ich punkt przecięcia. Następnie obierz sobie taki punkt, dla którego dwa wierzchołki narysowanego trójkąta, punkt przecięcia środkowych i wyznaczony punkt stworzą równoległobok. Potem działaj na przekształceniu w pewnej skali odpowiedniego (nie ABC) trójkąta. Odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{4}{3}S}\)
-
mint18
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Długości boków trójkąta
Skorzystamy z kilku faktów dotyczących środkowych w trójkącie:
(1) Punkt przecięcia się środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) począwszy od wierzchołka.
(2) Środkowe dzielą trójkąt na 6 trójkątów o równych polach.
(3) Stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa (dotyczy trójkątów podobnych).
W trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\), odcinki \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) będą środkowymi w tym trójkącie i niech przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Punkty \(\displaystyle{ X', D', E', S'}\) będą odpowiednio odbiciem symetrycznym punktów \(\displaystyle{ C, D, E, S}\) względem punktu \(\displaystyle{ F}\). Powstał drugi trójkąt \(\displaystyle{ ABX'}\) przystający do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
Załóżmy, że środkowe \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) mają długości odpowiednio \(\displaystyle{ 3p, 3q, 3r}\). Wtedy korzystając z (1) odcinki \(\displaystyle{ AS, AS', SS'}\) mają długości \(\displaystyle{ 2p, 2q, 2r}\).
Rozważmy teraz trójkąt \(\displaystyle{ A'B'C'}\), w którym boki mają długości \(\displaystyle{ 3p, 3q, 3r}\). Czyli trójkąty \(\displaystyle{ ASS'}\) i \(\displaystyle{ A'B'C'}\) są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a więc mamy stosunek \(\displaystyle{ \frac{P_{ASS'}}{P_{A'B'C'}} = \frac{4}{9}}\) co wynika z (3).
Z (2) wynika, że \(\displaystyle{ P _{ASS'} = \frac{1}{3} P _{ABC}}\).
\(\displaystyle{ \frac{P_{ASS'}}{P_{A'B'C'}} = \frac{4}{9} \Rightarrow P_{ASS'} = \frac{4 \cdot P_{A'B'C'}}{9}}\)
\(\displaystyle{ P _{ASS'} = \frac{1}{3} P _{ABC} \Rightarrow \frac{4 \cdot P_{A'B'C'}}{9} = \frac{1}{3} P _{ABC}}\)
Wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ P _{ABC}}\) i koniec
(1) Punkt przecięcia się środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) począwszy od wierzchołka.
(2) Środkowe dzielą trójkąt na 6 trójkątów o równych polach.
(3) Stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa (dotyczy trójkątów podobnych).
W trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\), odcinki \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) będą środkowymi w tym trójkącie i niech przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Punkty \(\displaystyle{ X', D', E', S'}\) będą odpowiednio odbiciem symetrycznym punktów \(\displaystyle{ C, D, E, S}\) względem punktu \(\displaystyle{ F}\). Powstał drugi trójkąt \(\displaystyle{ ABX'}\) przystający do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
Załóżmy, że środkowe \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) mają długości odpowiednio \(\displaystyle{ 3p, 3q, 3r}\). Wtedy korzystając z (1) odcinki \(\displaystyle{ AS, AS', SS'}\) mają długości \(\displaystyle{ 2p, 2q, 2r}\).
Rozważmy teraz trójkąt \(\displaystyle{ A'B'C'}\), w którym boki mają długości \(\displaystyle{ 3p, 3q, 3r}\). Czyli trójkąty \(\displaystyle{ ASS'}\) i \(\displaystyle{ A'B'C'}\) są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a więc mamy stosunek \(\displaystyle{ \frac{P_{ASS'}}{P_{A'B'C'}} = \frac{4}{9}}\) co wynika z (3).
Z (2) wynika, że \(\displaystyle{ P _{ASS'} = \frac{1}{3} P _{ABC}}\).
\(\displaystyle{ \frac{P_{ASS'}}{P_{A'B'C'}} = \frac{4}{9} \Rightarrow P_{ASS'} = \frac{4 \cdot P_{A'B'C'}}{9}}\)
\(\displaystyle{ P _{ASS'} = \frac{1}{3} P _{ABC} \Rightarrow \frac{4 \cdot P_{A'B'C'}}{9} = \frac{1}{3} P _{ABC}}\)
Wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ P _{ABC}}\) i koniec
Ostatnio zmieniony 23 lip 2015, o 21:32 przez mint18, łącznie zmieniany 1 raz.