liczba okręgów stycznych

[wielkireturner]

Niech dane będą 2 okręgi współśrodkowe, które się nie pokrywają. Ile będzie okręgów \(\displaystyle{ S_{n}}\) takich, że \(\displaystyle{ S_{i}}\) jest styczny do \(\displaystyle{ S_{i-1}}\) i \(\displaystyle{ S_{i+1}}\) oraz obu okręgów współśrodkowych?

[Medea 2]

Gdyby takie okręgi istniały, to miałyby promień \(\displaystyle{ \frac 12(R-r)}\) (znaczenie \(\displaystyle{ R, r}\) to oczywiście: promień dużego i małego okręgu). Pytanie brzmi: czy w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \frac 12(R+r)}\) można wpisać wielokąt foremny o boku \(\displaystyle{ R-r}\)?

[wielkireturner]

Gdyby takie okręgi istniały, to miałyby promień \(\displaystyle{ \frac 12(R-r)}\) (znaczenie \(\displaystyle{ R, r}\) to oczywiście: promień dużego i małego okręgu). Pytanie brzmi: czy w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \frac 12(R+r)}\) można wpisać wielokąt foremny o boku \(\displaystyle{ R-r}\)?

Da się, jeśli \(\displaystyle{ R>r> \frac{1}{3} R}\)

[a4karo]

Rysujemy okrąg, dokładamy do niego drugi, potem kolejny itd. Możliwości są dwie : albo kiedyś wrócimy do pierwszego okręgu, albo wypełnia one gęsto cały pierścień

[wielkireturner]

Rysujemy okrąg, dokładamy do niego drugi, potem kolejny itd. Możliwości są dwie : albo kiedyś wrócimy do pierwszego okręgu, albo wypełnia one gęsto cały pierścień

No tak, ale nie wskazuje to na możliwą liczbę okręgów.

[Medea 2]

Czy okręgi mogą się przecinać? Ja założyłam, że nie, ale tego nie ma w treści zadania.

[wielkireturner]

Czy okręgi mogą się przecinać? Ja założyłam, że nie, ale tego nie ma w treści zadania.

Przecinać się? Gdzie miałyby się przecinać?

[kruszewski]

wielkireturner pyta:
"Przecinać się? Gdzie miałyby się przecinać?"
W punktach wspólnych "dogonionych" po kolejnym okrążeniu okręgów już tam " będących".

Intuicyjnie można wnioskować, ze istnieje graniczna liczba (ilość) takich okręgów, ale też i nieskończona ich ilość.

Coś mi podsuwa myśl, że liczba tych okręgów " w jednym okrążeniu obwodu" okręgu do którego są styczne jest związana z twierdzeniem Gausa o konstrukcji wielokątów foremnych.
W.Kr.

[a4karo]

Jeżeli duzy okrąg ma promień \(\displaystyle{ R}\) a mały \(\displaystyle{ r}\), to kąt jaki tworzą półproste łaczące srodek okręgów "bazowych" z dwoma kolejnymi środkami okręgów dorysowywanych jest równy \(\displaystyle{ \phi=2\arcsin\frac{R-r}{R+r}}\).
Jeżeli ten kąt jest współmierny z \(\displaystyle{ \pi}\) to proces da skończenie wiele okręgów. W szczegówlności, jeżeli \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{\phi}=n}\) jest liczbą całkowitą, to dostaniemy \(\displaystyle{ n}\) okręgów.
Łatwo można wyliczyć, że \(\displaystyle{ n=2}\) odpowiada granicznemu przypadkowi \(\displaystyle{ r=0}\)

Oczywiście dla wszystkich \(\displaystyle{ n>2}\) znajdzie się stosunek \(\displaystyle{ R/r}\) realizujący \(\displaystyle{ n}\) okregów.

Przepraszam za brak stosownego rysunku, ale siedze w pociagu i pisanie nie jest najprostsze.

[kruszewski]

Pan a4karo zauważa, że:
"Oczywiście dla wszystkich n>2 znajdzie się stosunek R/r realizujący n okregów."
Tak, to prawda. Tylko czy potrafimy ten stosunek skonstruować?

[a4karo]

Pan a4karo zauważa, że:
"Oczywiście dla wszystkich n>2 znajdzie się stosunek R/r realizujący n okregów."
Tak, to prawda. Tylko czy potrafimy ten stosunek skonstruować?

Na ogół nie. Proszę zważyć, że kolejne środki okręgów są wierzchołkami \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego i dokłądnie wiadomo kiedy taki kąt jest konstruowalny (to znaczy nie wiadomo, bo kwestia liczb pierwszych Fermata jest otwarta)

[Medea 2]

Jeżeli ktoś jest zainteresowany, to zrobiłam rysunek. Odpowiada on mniej więcej rozwiązaniu, które napisał wyżej a4karo.