dwustosunek, dowód równości kątów

[wielkireturner]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) na podstawę \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) tak, że proste \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ BE}\), \(\displaystyle{ CF}\) przecinają się w jednym punkcie. Pokazać, że \(\displaystyle{ \angle ADF = \angle EDA}\).

Wiem, że \(\displaystyle{ (B,C; D,T) = 1}\) i że \(\displaystyle{ \angle ADT}\) jest kątem prostym, ale w jaki sposób wynika z tego, że \(\displaystyle{ AD}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle FDE}\)?

[Pinionrzek]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 1=(B, C; D, T)=(F, E; S, T)}\), gdzie \(\displaystyle{ S=AD \cap FE}\). Teraz skoro \(\displaystyle{ \frac{SF}{TF}=\frac{SE}{TE}=k}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ADT= 90^\circ}\), więc punkty \(\displaystyle{ S, D, T}\) leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów \(\displaystyle{ E, F}\) i stałej \(\displaystyle{ k}\), więc \(\displaystyle{ \frac{ED}{FD}=k=\frac{ES}{FS}}\), skąd na mocy twierdzenia o dwusiecznej wynika teza.