Prostokąt ABCD

[Dario1]

Mając dany prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) skonstruuj prostą, która odcina od danego prostokąta prostokąt do niego podobny.

[Medea 2]

Wskazówka. Jeżeli Twój prostokąt leży w układzie współrzędnych (prostokątnym) i ma dwa boki na osiach, to należy zacząć konstrukcję od odbicia go względem prostej \(\displaystyle{ x = y}\).

[Dario1]

Odbiłem prostokąt wzlędem prostej \(\displaystyle{ x=y}\), ale dalej nie widzę jak zakreślić tą prostą. Jeden z wierzchołków będzie pewnie leżał na tej prostej, ale nie potrafię wykombinować dalej.

[Medea 2]

Wskazówka. Zakładam, że Twój wyjściowy prostokąt leży tak, jak sobie tego zażyczyłam, to znaczy ma wierzchłki w punktach \(\displaystyle{ (0,0)}\), \(\displaystyle{ (0,b)}\), \(\displaystyle{ (a,0)}\), \(\displaystyle{ (a,b)}\).

Połącz prostą punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (b,a)}\).

[kruszewski]

[Dario1]

No odbiłem ten prostokąt tak jak mówiłaś i połączyłem te punkty. Jednak dalej nie widzę prostej która dzieli ten prostokąt odpowiednio. Kruszewski jakiś komentarz może? Nie bardzo rozumiem dlaczego tak konstruujesz i czemu tak jak poprawnie. Domyślam się, że ten szary prostokąt jest podobny, ale dlaczego?

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że trójkąty prostokątne dzielące oba prostokąty są podobne, choćby dla tego, że kąty między przekątnymi a jednym z boków prostokątów są równe a to wynika z wzajemności prostopadłości przekątnych.
Zatem wyprowadzamy wnioski:
1. trójkąty, ten mały i ten duży są podobne.
2. prostokąty składające się z podobnych trójkątów są podobne.

Jeżeli wystawimy prostopadłą do dłuższego boku w punkcie w którym ramię skonstruowanego kąta przecina dłuższy bok danego nam prostokąta, to ta prosta będzie tą poszukiwaną.

[Dario1]

Chwila. Ale które trójkąty prostokątne są podobne bo ja ich tu widzę co najmniej 8. Może jakieś oznaczenia? Żebyśmy wiedzieli na czym stoimy.

[kruszewski]

A treści zadania ma wynikać podobieństwo małego prostokąta, odkrojonego prostą (purpurową) od dużego, do którego jest podobny, bowiem kąt między jego przekątną a jego bokiem jest równy odpowiadającemu mu kątowi w dużym trójkącie którą to równość zapewniamy tym, że konstruujemy prostą prostopadłą do przekątnej dużego prostokąta i korzystając z tw. o tym, że jeżeli dwa trójkąty mają odpowiednie boki wzajemnie prostopadłe to trójkąty takie są podobne.

[Dario1]

No ok zaczynam rozumieć. Z tego co widzę to najpierw trzeba narysować przekątną dużego prostokąta, a następnie prostą prostopadłą do niej przechodzącą przez lewy górny wierzchołek dużego prostokąta. Prosta ta przetnie dolny bok prostokąta w pewnym punkcie i w tym punkcie prowadzimy prostą prostopadłą do boku otrzymując w ten sposób szukany prostokąt. Podobieństwo trójkątów wynika z równości odpowiednich kątów, które krok po kroku można wyznaczyć, co w efekcie da podobieństwo dwóch trójkątów tworzących prostokąt. Zgadza się?

[kruszewski]

Zauważając wcześniej, że:
" prostokąty składające się z podobnych trójkątów są podobne."