twierdzenie Pascala okręgi i trójkąt

[wielkireturner]

Okrąg \(\displaystyle{ O}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ O^{ \prime }}\) opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ S}\), a do boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) odpowiednio \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Niech proste \(\displaystyle{ SD}\) i \(\displaystyle{ SE}\) przecinają okrąg \(\displaystyle{ O^{ \prime}}\) odpowiednio w drugich punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Wykaż, że środek okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ DE}\).

Nasuwającym się wnioskiem jest zastosować twierdzenie Pascala dla sześciokąta \(\displaystyle{ ACBKSL}\), ale to daje mi jedynie współliniowość \(\displaystyle{ D, E, X = AL \cap KB}\) bez gwarancji, że \(\displaystyle{ X}\) dzieli \(\displaystyle{ DE}\) na połowy i jest środkiem okręgu wpisanego. Wskazówki?

[Pinionrzek]

Wykorzystaj następujący lemat:
Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ o}\) styczne wewnętrznie w \(\displaystyle{ C}\), przy czym ten pierwszy ma większy promień. Rozważmy prostą \(\displaystyle{ l}\) styczną do \(\displaystyle{ o}\) w \(\displaystyle{ D}\) i przecinającą \(\displaystyle{ O}\) w dwóch różnych punktach \(\displaystyle{ A, B}\). Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie drugim punktem przecięcia \(\displaystyle{ CD}\) z \(\displaystyle{ O}\). Wtedy \(\displaystyle{ AE=BE}\).
Aby to dowieść rozważ jednokładność w punkcie \(\displaystyle{ C}\).