Punkty K,L,M

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 11 lip 2015, o 10:12

Punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) są spodkami wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków \(\displaystyle{ C,A,B}\). Wykaż, że: Trójkąty \(\displaystyle{ AKM, BKL, CML}\) są podobne do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

nelcia27 · Post autor: **nelcia27** » 11 lip 2015, o 14:26

Jesteś pewien, że dobrze przepisałeś wierzchołki? (ten ostatni trójkąt)

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 11 lip 2015, o 15:18

Wszystko jest dobrze przepisane.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 lip 2015, o 20:40

\(\displaystyle{ ABC}\) nie może być dowolny.

A jak już będzie określony to idzie z cechy kk(k) - tylko rysunek z wysokościami i np trójkątem \(\displaystyle{ AKM}\) zrobić.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 11 lip 2015, o 22:22

Nie rozumiem. Jak to \(\displaystyle{ ABC}\) nie może być dowolny? To jaki ma być?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 lip 2015, o 22:27

Nie może być prostokątny.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 11 lip 2015, o 22:34

Nie no może być prostokątny. Wtedy na przykład trójkąt \(\displaystyle{ AKM}\) staje się punktem.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 lip 2015, o 22:38

No i mamy nową definicję wielokąta (a chyba trójkąt nim jest) - jednopunktowy.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 lip 2015, o 14:01

Punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) są spodkami wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków \(\displaystyle{ C,A,B}\). Wykaż, że trójkąty \(\displaystyle{ AKM, BKL, CML}\) są

podobne do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

W książce jest wskazówka: Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza punkt

przecięcia się wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wykaż, że

na czworokącie \(\displaystyle{ AKOM}\) można opisać okrąg, a

następnie rozważ odpowiednie kąty wpisane.

Potrafię wykazać, że na czworokącie \(\displaystyle{ AKOM}\) można

opisać okrąg, ale nie potrafię rozważyć kątów tak by to miało

sens.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 lip 2015, o 20:32

A więc w książce przyjęli, że trójkąt ABC jest ostrokątny bo ,,punkt przecięcia wysokości trójkąta".

Bez wskazówki.

Oznaczmy kąt A jako \(\displaystyle{ \alpha}\); wtedy kąt ACK (też ABM) ma \(\displaystyle{ 90-\alpha}\).

Kąty trójkąta OMK to odpowiednio \(\displaystyle{ 180-\alpha; x; y}\).

Wykazać, że trójkąty OMK i OCB są podobne i ustalić równość odpowiednich kątów trójkątów AKM i ABC.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 lip 2015, o 21:52

No rozumiem, ale jeśli będzie rozwartokątny to przedłużenia wysokości też się przetną w jednym punkcie. Ale ok dla uproszczenia przyjmijmy, że jest ostrokątny. Zgadzam się, że trójkąt \(\displaystyle{ OMK}\) ma kąty \(\displaystyle{ 180- \alpha ,x,y}\), ale w żaden sposób nie potrafię wykazać, że trójkąty \(\displaystyle{ OMK}\) i \(\displaystyle{ OCB}\) są podobne i tu jest pies pogrzebany.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 lip 2015, o 21:54

Dario1 pisze:
W książce jest wskazówka: Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza punkt

przecięcia się wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Nie ja podałem cytowane.

Co do podobieństwa - może potrafisz wykazać, że BOK i OMC są podobne ?

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 lip 2015, o 22:13

Tak, podobieństwo BOK i OMC potrafię wykazać z cechy kk. Daje nam to proporcjonalność boków OK do OB i OM do OC czyli z bkb daje podobieństwo OMK i OCB. Można teraz wyliczyć, że kąt AKM równa się kątowi ACB czyli daje to nam z cechy kk podobieństwo trójkątów AKM i ABC. Zgadza się?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 lip 2015, o 22:17

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 12 lip 2015, o 22:22

Ok. A jak rozwiązać to zadanie wykorzystując wskazówkę podaną w książce. Przypomnę: Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza punkt przecięcia się wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wykaż, że na czworokącie \(\displaystyle{ AKOM}\) można opisać okrąg, a następnie rozważ odpowiednie kąty wpisane.