dowód tego, że czworokąt jest równoległobokiem

[wielkireturner]

Każda z przekątnych czworokąta wypukłego dzieli go na trójkąty o równych polach. Wykaż, że ten czworokąt jest równoległobokiem.
Proszę o sprawdzenie dowodu. Wydaje się za prosty, a w związku z tym błędny.
Używam przekształcenia afinicznego dla trójkątów powstałych w wyniku podziału czworokąta przez przekątne, uzyskując \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty równoboczne, \(\displaystyle{ 2}\) równoramienne po \(\displaystyle{ 120^{o}}\). Oczywiście, każdy z tych trójkątów ma takie samo pole. Uzyskane trójkąty tworzą nowy czworokąt o bokach równoległych. Ponieważ przekształcenie afiniczne zachowuje równoległość prostych, czworokąt dany w zadaniu jest równoległobokiem.

[SlotaWoj]

1. To co publikujesz, to nie jest żaden dowód, więc nie ma co sprawdzać.
2. Tylko w szczególnym przypadku przekątne dzielą równoległobok na dwa trójkąty równoboczne i dwa równoramienne.

Próbuj dalej.

[wielkireturner]

1. To co publikujesz, to nie jest żaden dowód, więc nie ma co sprawdzać.
2. Tylko w szczególnym przypadku przekątne dzielą równoległobok na dwa trójkąty równoboczne i dwa równoramienne.

Próbuj dalej.

Tak, ale mogę przekształcić afinicznie na przypadek szczególny, co też zrobiłem. Przy zachowaniu własności przekształcenia afinicznego będzi to również zachodziło dla oryginalnego zadaniowego czworokąta.

[timon92]

uzyskując \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty równoboczne, \(\displaystyle{ 2}\) równoramienne po \(\displaystyle{ 120^{o}}\).

skąd wiesz, że takie przekształcenie afiniczne istnieje?

[SlotaWoj]

To twierdzenie należy udowodnić dla najbardziej ogólnego przypadku.
Udowodnienie twierdzenia odwrotnego wydaje mi się bardzo łatwe więc zrób to, bo może pojawią się wskazówki, jak udowodnić w druga stronę.

[wielkireturner]

uzyskując \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty równoboczne, \(\displaystyle{ 2}\) równoramienne po \(\displaystyle{ 120^{o}}\).

skąd wiesz, że takie przekształcenie afiniczne istnieje?

Każdy trójkąt da się przy odpowiednim przekształceniu afinicznym przekształcić na trójkąt równoboczny. A z trójkąta równobocznego można już uzyskać nawet równoramienny.

[timon92]

czyli bierzesz przekształcenie afiniczne, które z jednego z tych trójkątów robi trójkąt równoboczny

skąd pewność, że po zastosowaniu tego przekształcenia afinicznego ten trójkąt naprzeciwko też będzie równoboczny, a tamte dwa pozostałe trójkąty będą miały kąty \(\displaystyle{ 120^\circ, 30^\circ, 30^\circ}\)?

[wielkireturner]

czyli bierzesz przekształcenie afiniczne, które z jednego z tych trójkątów robi trójkąt równoboczny

skąd pewność, że po zastosowaniu tego przekształcenia afinicznego ten trójkąt naprzeciwko też będzie równoboczny, a tamte dwa pozostałe trójkąty będą miały kąty \(\displaystyle{ 120^\circ, 30^\circ, 30^\circ}\)?

Trójkąty naprzeciw siebie, jak podzieli się czworokąt przekątnymi, są przystające, istnieje zatem powinowactwo przekształcające dwa trójkąty naprzeciw siebie w trójkąty równoboczne. Gdy połączy się odpowiednie wierzchołki powstałych trójkątów otrzyma się dodatkowo dwa trójkąty równoramienne. Ponieważ przekształcenie afiniczne zachowuje stosunek pól, trójkąty te są przystające i mają kąty
\(\displaystyle{ 120^ { o}, 30 ^ { o} , 30 ^ { o }}\).

[timon92]

Trójkąty naprzeciw siebie, jak podzieli się czworokąt przekątnymi, są przystające

dlaczego są przystające?