Punkty E,F,G,H

[Dario1]

Punkty \(\displaystyle{ E,F,G,H}\) są środkami boków \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\) rombu \(\displaystyle{ ABCD}\). Wykaż, że na czworokącie \(\displaystyle{ EFGH}\) można opisać okrąg.

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Na wstępie zauważmy, że trójkąty\(\displaystyle{ AEH}\) i\(\displaystyle{ FGC}\) są podobne z cechy bkb. Narysujmy wysokość z punktu \(\displaystyle{ A}\) na bok \(\displaystyle{ EH}\). Miejsce spadku oznaczmy jako\(\displaystyle{ I}\). Podobnie narysujmy wysokość z punktu \(\displaystyle{ C}\)na bok\(\displaystyle{ FG}\). Spadek oznaczmy jako\(\displaystyle{ J}\). Mamy, że trójkąty\(\displaystyle{ AIE}\) oraz \(\displaystyle{ AIH}\) są podobne oraz\(\displaystyle{ FJC}\) oraz \(\displaystyle{ CGI}\). Zatem wysokość z punktu\(\displaystyle{ A}\) jest jednocześnie dwusieczną kąta\(\displaystyle{ A}\). Podobnie z punktu \(\displaystyle{ C}\) mamy dwusieczną. Podobnie otrzymujemy, że trójkąty \(\displaystyle{ AEH}\) oraz \(\displaystyle{ ABD}\) są podobne. Środek przecięcia się przekątnych rombu oznaczmy jako \(\displaystyle{ O}\). Zatem boki \(\displaystyle{ EH}\) i\(\displaystyle{ FG}\) są równoległe i równe. Analogicznie można wykazać, że \(\displaystyle{ EF}\)oraz \(\displaystyle{ HG}\) są równoległe i równe. Z sumy kątów w prostokącie mamy też, że kąty\(\displaystyle{ HEF, EFG, FGH}\) oraz \(\displaystyle{ GHE}\) są proste. A zatem czworokąt \(\displaystyle{ FGEH}\) jest prostokątem. W oczywisty sposób symetralne prostokąta przecinają się w jednym punkcie dzięki czemu można opisać na nim okrąg.

[piasek101]

Krócej - bo trochę zawile to opisujesz - boki figury EFGH są parami równoległe do przekątnych rombu (z odwrotnego Talesa).

[bakala12]

Względnie ok, choć mam małe zastrzeżenie.

Podobnie otrzymujemy, że trójkąty AEH oraz ABD są podobne.

To można stwierdzić od razu, nieprawdaż? Wszystkie podobieństwa o których mówiłeś do tej pory (przed tym zdaniem) były w istocie przystawaniem trójkątów.

Z sumy kątów w prostokącie mamy też, że kąty HEF, EFG, FGH oraz GHE są proste.

Skąd to? Te kąty w istocie są proste, ale jak to wywnioskowałeś nie do końca rozumiem.

[Dario1]

No wywnioskowałem z tego, że skoro EF i HG prostopadłe do BD i EH oraz FG równoległe do BD to z tego, że w czwrokącie suma kątów jest 360 to kąty E,F,G,H są proste.

[bakala12]

Trochę to chaotyczne, ale działa

[Dario1]

Mam jeszcze słabe widzenie geometryczne dlatego moje rozwiązania są czesto chaotyczne . Ale postaram się nad tym zapanować.