W trójkącie ABC

[Dario1]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono wysokości\(\displaystyle{ AD}\) oraz\(\displaystyle{ BE}\) (\(\displaystyle{ D \in BC,E \in AC}\) ). Wykaż, że na czworokącie ABDE można opisać okrąg.

Wiem, że wtedy można opisać, gdy wszystkie symetralne przecinają się w jednym punkcie. Potrafię udowodnić, że na każdym z tych trójkątów można opisać okrąg, ale nie potrafię, że ten sam, o tym samym środku.

Hmm, chociaż jak tak teraz patrze to przyszło mi coś takiego do głowy:

Rysujemy symetralną boku DE i boku AB. Przetną się one w jednym punkcie bo ED nie jest równoległe do AB co można wykazać. Przecięcie oznaczmy jako O. A zatem odcinki OE i OD są równe bo O należy do symetralnej DE. Tak samo BO i AO są równe bo O należy do symetralnej AB. Podobnie BO i DO są równe bo O należy do symetralnej BD. Czyli z tego wynika , że OE i OA są równe. A zatem O należy do symetralnej boku AE. Czyli można opisać okrąg na tym czworokącie.

Chociaż nie... widzę, że są pewne nieścisłości.

[piasek101]

Kiedy na czworokącie da się opisać okrąg ?

[bakala12]

Inaczej. Gdzie będzie środek tego okręgu spróbuj się zastanowić najpierw. Weź pod uwagę najpierw trzy z tych punktów, np \(\displaystyle{ A,B,D}\). Wyznaczają one trójkąt na którym można opisać okrąg. Pokaż że na tym okręgu leży również czwarty punkt.

[Dario1]

Bakala to co piszesz to też wiem, bo jest to we wskazówce do zadania. Ale nie wiem jak pokazać, że do tego okręgu należy również E.

[bakala12]

Jest kilka możliwych sposobów. Ja proponuję wziąć okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\). Zauważ że ten trójkąt jest prostokątny. Gdzie jest środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

[Dario1]

W środku średnicy. Czyli w tym przypadku w środku boku \(\displaystyle{ AB}\).

AAAAAA już chyba widzę. Mamy tu dwa trójkąty o tym samym boku AB będącym średnicą. Czyli mamy dwa okręgi których średnicą jest bok AB. Zatem te okręgi muszą się pokrywać. I odcinek OE też będzie promieniem. Bo kąt E jest prosty.

[bakala12]

Znakomicie. A co powiesz o trójkącie \(\displaystyle{ ABE}\)?

[Dario1]

Edytowałem poprzedni post. A tak z ciekawości możnaby to zadanie udowodnić wykazując, że symetralne wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie?

[bakala12]

Oczywiście. Wystarczy że trzy symetralne będą się przecinać w jednym punkcie. To pokaż że każda z nich przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\).
Generalnie warunek następujący:

Na czworokącie wypukłym ( i ogólniej, na dowolnym wielokącie wypukłym) da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy gdy symetralne wszystkich jego boków przecinają się w jednym punkcie.

nie jest warunkiem zbyt mocnym i dość trudno z niego skorzystać. Dla czworokąta wypukłego jest kilka innych warunków równoważnych. Oto niektóre inne z nich:
Twierdzenie:
Następujące warunki są równoważne:
1. Na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg.
2. Symetralne wszystkich boków czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w jednym punkcie.
3. Symetralne pewnych trzech boków wielokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w jednym punkcie.
4. \(\displaystyle{ \angle ABC + \angle ADC=180^{\circ}}\) (tutaj ważna jest kolejność wierzchołków, musi być po kolei \(\displaystyle{ A,B,C,D}\)).
5. \(\displaystyle{ \angle ADB = \angle ACB}\) (to samo co wyżej)
6. \(\displaystyle{ AS \cdot CS =BS \cdot DS}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\).
7. Trójkąty \(\displaystyle{ ABS}\) i \(\displaystyle{ CDS}\) są podobne (\(\displaystyle{ S}\) to znów punkt przecięcia przekątnych).

To chyba najważniejsze z nich. Najczęściej wykorzystywane warunki to 4,5,6,7 (ale na poziomie szkolnym zazwyczaj tylko 4 się podaje). Dowód twierdzenia nie jest trudny, ale sporo tych warunków. Warto spróbować udowodnić to wszystko samemu.
Dodatkowo można dorzucić jeszcze jeden warunek:
8. Jeżeli proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ PA \cdot PB = PC \cdot PD}\) to na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) da się opisać okrąg. (tu jest tylko implikacja). Myślę że uzbrojony w tyle warunków na pewno poradzisz sobie z każdym zadaniem.