równość wybranych kątów

[wielkireturner]

Boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) spełniają nierówności
\(\displaystyle{ |AB|<|CA|<|BC|}\)
Dwusieczne jego kątów wewnętrznych przecinają boki \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\). Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie punktem przecięcia się okręgu opisanego na trójkącie z prostą przechodzącą przez wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) i równoległą do prostej \(\displaystyle{ EF}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie takim punktem tego okręgu, że prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest równoległa do \(\displaystyle{ AC}\).
Dlaczego w opisanej sytuacji \(\displaystyle{ \angle ABP = \angle QBC}\)?

[bakala12]

Bo łuki \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) mają równe długości, a co za tym idzie kąty wpisane oparte na tych łukach mają równe miary.
To teraz czemu łuki mają równe długości? A to już zostawię Tobie do uzasadnienia. W razie pytań pisz.