Zbuduj trójkąt

[Dario1]

Zbuduj trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), mając dane trzy odcinki przystające do środkowych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

[Dilectus]

Dwa odcinki uważa się za przystające, jeśli są równej długości. A więc masz dane długości wszystkich środkowych.
Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który dzieli ich długości w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

[Dario1]

To to ja wiem, ale co dalej.

[kropka+]

https://www.matematyka.pl/21505.htm

[Dario1]

Hmm nie jest to dla mnie do końca zrozumiałe. Za dużo skrótów myślowych. Można trochę prościej?

[bakala12]

A można budować w przestrzeni trójwymiarowej? Pytam bo można fajnie to zrobić

[Dario1]

Nie no chciałbym jednak zobaczyć konstrukcję dwuwymiarową...

[Dilectus]

Nie no chciałbym jednak zobaczyć konstrukcję dwuwymiarową...

Dario, widziałeś kiedyś trójkąt trójwymiarowy?

[Dario1]

huk wie. Tu cos jest.

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=ysC2q0S9miI

. Ale mniejsza o to. Co z tą konstrukcją?

[bakala12]

No dobra, to będzie jednak konstrukcja, koncepcja pojawiła się znikąd na końcu tego wywodu.
Zanim przejdziemy do budowy trójkąta trzeba wykonać trochę obliczeń pomocniczych
No więc zaczynajmy:
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) oznaczają długości boków poszukiwanego trójkąta, zaś \(\displaystyle{ s_{a},s_{b},s_{c}}\) długości środkowych opuszczonych na boki \(\displaystyle{ a,b,c}\) odpowiednio.
Mamy wzór:
\(\displaystyle{ s_{a}^{2}=\frac{1}{4}\left(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\right)}\)
oraz dwa analogiczne. Wzór ten można uzyskać przy użyciu twierdzenia Stewarta lub, co i tak na jedno wychodzi, stosując 2 razy twierdzenie cosinusów.
Mamy więc układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4s_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2} \\
4s_{b}^{2}=2c^{2}+2a^{2}-b^{2} \\
4s_{c}^{2}=2b^{2}+2a^{2}-c^{2} \\
\end{cases}}\)
Wobec tego układ ten można rozwiązać wyznaczając \(\displaystyle{ a,b,c}\) za pomocą \(\displaystyle{ s_{a},s_{b},s_{c}}\). Zrobimy to. Dodajmy stronami pierwsze, drugie i cztery razy trzecie równanie. Dostajemy po redukcji:
\(\displaystyle{ 4s_{a}^{2}+4s_{b}^{2}+16s_{c}^{2}=9a^{2}+9b^{2}}\)
Analogicznie dostajemy dwa podobne równania. Teraz to nimi się zajmiemy.
Mamy zatem układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4s_{a}^{2}+4s_{b}^{2}+16s_{c}^{2}=9a^{2}+9b^{2} \\
4s_{b}^{2}+4s_{c}^{2}+16s_{a}^{2}=9b^{2}+9c^{2} \\
4s_{c}^{2}+4s_{a}^{2}+16s_{b}^{2}=9c^{2}+9a^{2} \\
\end{cases}}\)
Dodajmy stronami pierwsze i drugie, a odejmijmy trzecie spośród nowych równań. Dostaniemy:
\(\displaystyle{ 16s_{a}^{2}+16s^{c}^{2}-8s_{b}^{2}=18b^{2}}\)
czyli po redukcji:
\(\displaystyle{ b=\frac{2}{3}\sqrt{2s_{a}^{2}+2s_{c}^{2}-s_{b}^{2}}}\)
Analogicznie można wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ c}\).
Mam nadzieję że się nie pomyliłem, sprawdzałem dwa razy, ale kto wie. (Znając życie i tak nikt nie sprawdzi tych rachunków )
Opis konstrukcji:
1. Konstruujemy odcinki o długościach \(\displaystyle{ s_{a}\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ s_{c}\sqrt{2}}\) jako przekątne odpowiednich kwadratów.
2. Konstruujmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ s_{a}\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ s_{c}\sqrt{2}}\). Jego przeciwprostokątną oznaczmy przez \(\displaystyle{ d}\). Mamy z Pitagorasa \(\displaystyle{ d^{2}=2s_{a}^{2}+2s_{c}^{2}}\).
3. Wykreślamy konstrukcyjnie okrąg o średnicy \(\displaystyle{ d}\) (Nazwijmy tę średnicę \(\displaystyle{ AB}\)). Zataczamy z jednego z końców tej średnicy (obojętnie którego, ale niech to będzie \(\displaystyle{ A}\), żeby się nie pogubić) łuk o długości \(\displaystyle{ s_{b}}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza punkt przecięcia okręgu z tym łukiem. Oznaczmy \(\displaystyle{ e=BP}\). Z Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ e=\sqrt{2s_{a}^{2}+2s_{c}^{2}-s_{b}^{2}}}\)
4. Dzielimy odcinek \(\displaystyle{ e}\) konstrukcyjnie na 3 części i bierzemy odcinek długości \(\displaystyle{ \frac{2}{3}e}\). Ten odcinek ma długość równą długości odcinka \(\displaystyle{ b}\), co potwierdzają przeprowadzone wyżej rachunki!

Znaczy się magicznie nam wyszło Konstrukcja powstała na bazie wzoru na długość odcinka \(\displaystyle{ b}\) który wyznaczyłem i jest mojego autorstwa. Pozdrawiam i jednocześnie czekamy nadal na coś prostszego

[kropka+]

Hmm nie jest to dla mnie do końca zrozumiałe. Za dużo skrótów myślowych.

Masz dane środkowe o długościach \(\displaystyle{ p,q,r}\)

1. Konstruujesz trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \frac{2}{3}p, \frac{2}{3}q, \frac{2}{3}r}\)

2, Konstruujesz jego środkowe \(\displaystyle{ s,t,u}\)

3. Konstruujesz trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2s,2t,2u}\)

Koniec

Wykażę w skrócie, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ma boki długości \(\displaystyle{ 2s,2t,2u}\).

1. Rysuję dowolny trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i jego środkowe \(\displaystyle{ CD,AE,BF}\). Oznaczam punkt przecięcia środkowych jako \(\displaystyle{ O}\)
2. Przedłużam środkową \(\displaystyle{ CD}\) o odcinek \(\displaystyle{ DG=OD}\).
3. Łączę \(\displaystyle{ G}\) z \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Otrzymałam w ten sposób czworokąt \(\displaystyle{ AOBG}\) o przekątnych \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ OG= \frac{2}{3}CD}\). Ponieważ te przekątne dzielą się na połowy, to czworokąt jest równoległobokiem.
4. Rozpatruję trójkąt \(\displaystyle{ AOG}\) Jego boki mają długości \(\displaystyle{ \frac{2}{3}CD, \frac{2}{3}AE, \frac{2}{3}BF}\) a jego środkowa \(\displaystyle{ AD= \frac{1}{2}AB}\)
5. Analogicznie przedłużając \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ BF}\) dostaję pozostałe środkowe tego trójkąta. Ich długości to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}BC}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}AC}\). Wystarczy więc podwoić długości tych środkowych i otrzymamy długości boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

[Dario1]

No kropka normalnie jestem pod wrażeniem. Niezłe rozwiązanie. Wszystko prosto i jasno. Rzadko to spotykane u kobiet. Chociaż widzę, że te zadanko to nie było takie hop siup. Dość trudne, wymagające. Bakala normalnie Twoje rozwiązanie to majstersztyk. Jak będę miał trochę czasu to sprawdzę te obliczenia.