Wykaż, ze punkt nie jest środkiem cięciwy

[Dario1]

Wykaż, że jeśli dwie cięciwy okręgu \(\displaystyle{ o(O,r)}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\) różnym od \(\displaystyle{ O}\), to \(\displaystyle{ P}\) nie jest środkiem przynajmniej jednej z tych cięciw.

[mostostalek]

bzdura.. Wystarczy narysować dwie przecinające się cięciwy, z których żadna nie jest średnicą i widać, że punkt przecięcia nie jest w żadnym przypadku środkiem żadnej z nich.

[Dario1]

Ale to nie jest żadne wytłumaczenie. Co to znaczy "widać"? To niematematyczne.

[mostostalek]

Kontrprzykład jest jak najbardziej matematyczny.. Skoro znalazłeś kontrprzykład to znaczy, że twierdzenie jest błędne i nie da się go udowodnić.. a co do "to widać" - zmierz sobie linijką -- 3 lipca 2015, 21:58 --pfu... Nie zauważyłem "nie" w twierdzeniu

[bakala12]

Nie wprost! Załóżmy że \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem obu średnic. Co z tego wywnioskujesz?

[Dario1]

Prawdopodobnie to ,że punktem przecięcia jest środek okręgu, ale nie wiem czy to takie oczywiste.

[bakala12]

No to lemat:
Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) niebędącej średnicą wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ OP \perp AB}\).
Dowód powyższego to przystawanie trójkątów.
Co z tego wynika? No mamy \(\displaystyle{ O \neq P}\). To \(\displaystyle{ OP}\) jest prostopadłe do obu cięciw na raz. Czy to możliwe (i dlaczego nie)?

[Dario1]

No nie jest możliwe bo jeśli cięciwa przechodzi przez \(\displaystyle{ P}\) i jest prostopadła do \(\displaystyle{ OP}\) to się pokrywa z \(\displaystyle{ AB}\). Zgadza się?

[bakala12]

Tak zgadza się. Wtedy te dwie cięciwy musiałyby się pokrywać.