Dana jest prosta k

[Dario1]

Dana jest prosta \(\displaystyle{ k}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) nie należący do \(\displaystyle{ k}\). Wykaż, że obrazem prostej \(\displaystyle{ k}\) w obrocie dokoła \(\displaystyle{ P}\) o kąt prosty jest prosta \(\displaystyle{ k'}\) prostopadła do \(\displaystyle{ k}\).

Narazie wymyśliłem coś takiego:

Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) prowadzimy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ k}\) i punkt przecięcia oznaczmy jako \(\displaystyle{ P'}\). Znajdujemy obraz punktu \(\displaystyle{ P'}\) dookoła \(\displaystyle{ P}\) o \(\displaystyle{ 90}\) stopni, nazwijmy go \(\displaystyle{ P''}\). Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ PP''}\). Skoro prosta \(\displaystyle{ k}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ PP'}\) to również prosta \(\displaystyle{ k'}\) musi być prostopadła do \(\displaystyle{ PP''}\), bo obrót jest izometrią czyli odległości pozostają zachowane. Punkt przecięcia prostych oznaczmy jako \(\displaystyle{ R}\). Otrzymaliśmy czworokąt \(\displaystyle{ RP'PP''}\) w którym 3 kąty są proste zatem również czwarty kąt przy \(\displaystyle{ R}\) jest prosty czyli proste są prostopadłe.

Czy to poprawny dowód?

Jeśli są jakieś inne możliwości rozwiązania to chętnie zobaczę.

[mostostalek]

coś Ci nie wyszło chyba \(\displaystyle{ PP''}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ PP'}\), która jest prostopadła do \(\displaystyle{ k}\).. Stąd wynika to, że \(\displaystyle{ PP''}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) są równoległe się nie przecinają.

[Dario1]

No tak, ale interesują nas proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k'}\).

[mostostalek]

a która to prosta \(\displaystyle{ k'}\) bo tego nie zdefiniowałeś

[Dario1]

No \(\displaystyle{ k'}\) to prosta prostopadła do \(\displaystyle{ PP''}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ P''}\).

[mostostalek]

Czegoś mi tu brakuje.. Wiesz jedynie, że \(\displaystyle{ k'}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P''}\).. (bo \(\displaystyle{ P''}\) powstaje z obrotu o 90 stopni punktu \(\displaystyle{ P'}\) należącego do \(\displaystyle{ k}\) względem punktu \(\displaystyle{ P}\)) ale nie wiesz czy \(\displaystyle{ k'}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ PP''}\).

[bakala12]

Generalnie jest ok, ale troszkę się zamotałeś w oznaczeniach, a przynajmniej na to wygląda. Wystarczy tak:
Niech \(\displaystyle{ P'}\) to rzut \(\displaystyle{ P}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\). Niech \(\displaystyle{ P''}\) będzie obrazem \(\displaystyle{ P'}\) w obrocie o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) względem \(\displaystyle{ P}\) (wszystko jedno w którą stronę ten obrót).
Dokończyć można na kilka sposobów. Na przykład:
1. Niech dodatkowo \(\displaystyle{ k'}\) będzie obrazem \(\displaystyle{ k}\) w tym obrocie. Mamy z kąta obrotu \(\displaystyle{ PP' \perp PP''}\), z rzutu \(\displaystyle{ PP' \perp k}\) i z tego że izometria zachowuje kąty \(\displaystyle{ PP'' \perp k'}\). Stąd teza.
2. Niech \(\displaystyle{ k'}\) będzie prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ PP''}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ P''}\). Mamy jak wyżej te same prostopadłości i teza.

Można wymyślić jeszcze kilka innych sposobów, ale to raczej mało twórcza praca, choć paradoksalnie rozwijająca! Tobie chyba chodziło o wersję z punktu 2. tylko popełniłeś drobne literówki.

[Dario1]

Tak ja chyba pomieszałem te 2 możliwości. Ale okazuje się, że izometria zachowuje kąty czyli mniej więcej to o co mi chodziło.