Trójkąt ABC

[Dario1]

Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left(B \right)}{a}}\),to trójkąt ABC jest równoramienny.

[macik1423]

Coś takiego wymyśliłem
z twierdzenia sinusów:

\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin (B)}= \frac{a}{\sin (A)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{\sin (B)}{\sin (A)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left(B \right)}{a}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{\cos (A)}{\cos(B)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin (B)}{\sin (A)} = \frac{\cos (A)}{\cos (B)}}\)

\(\displaystyle{ \sin (B) \cdot \cos (B)-\sin (A)\cdot \cos (A)=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin (2B)- \frac{1}{2}\sin (2A)=0}\)

\(\displaystyle{ \sin (2B)-\sin (2A)=0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{2B-2A}{2}\cdot \cos \frac{2B+2A}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ \sin (B-A)\cdot \cos(B+A)=0}\)

\(\displaystyle{ \sin (B-A)=0 \vee \cos (B+A)=0}\)

\(\displaystyle{ B-A=0}\) z pierwszego równania

\(\displaystyle{ B=A}\)

Z drugiego równania wychodzi dokładny kąt.

[Dario1]

Ale coś mi się tu nie zgadza. Weźmy trójkąt prostokątny NIErównoramienny, gdzie: \(\displaystyle{ a=1,b= \sqrt{3}, A=30 stopni, B=60 stopni, C=90}\). Wtedy istotnie będziemy mieli: \(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left( B\right) }{a}}\), ale trójkąt nie będzie równoramienny. Co wówczas?

[bakala12]

Podałeś kontrprzykład. Teza jest zatem nieprawdziwa.

[SlotaWoj]

Tak jakby „układacz” tematu zadania się pomylił i napisał: jest równoramienny zamiast: jest prostokątny.

[bakala12]

Zauważ, że dla trójkąta równoramiennego teza jest niemal oczywista. Wobec tego treść zadania powinna brzmieć:
"Wykaż, że jeżeli ... , to trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.
Dowolny trójkąt prostokątny spełnia warunek z zadania.