Trójkąt ABC
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Trójkąt ABC
Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left(B \right)}{a}}\),to trójkąt ABC jest równoramienny.
-
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R do M
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 234 razy
Trójkąt ABC
Coś takiego wymyśliłem
z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin (B)}= \frac{a}{\sin (A)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{\sin (B)}{\sin (A)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left(B \right)}{a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{\cos (A)}{\cos(B)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin (B)}{\sin (A)} = \frac{\cos (A)}{\cos (B)}}\)
\(\displaystyle{ \sin (B) \cdot \cos (B)-\sin (A)\cdot \cos (A)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin (2B)- \frac{1}{2}\sin (2A)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin (2B)-\sin (2A)=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{2B-2A}{2}\cdot \cos \frac{2B+2A}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \sin (B-A)\cdot \cos(B+A)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin (B-A)=0 \vee \cos (B+A)=0}\)
\(\displaystyle{ B-A=0}\) z pierwszego równania
\(\displaystyle{ B=A}\)
Z drugiego równania wychodzi dokładny kąt.
z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin (B)}= \frac{a}{\sin (A)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{\sin (B)}{\sin (A)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left(B \right)}{a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{\cos (A)}{\cos(B)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin (B)}{\sin (A)} = \frac{\cos (A)}{\cos (B)}}\)
\(\displaystyle{ \sin (B) \cdot \cos (B)-\sin (A)\cdot \cos (A)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin (2B)- \frac{1}{2}\sin (2A)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin (2B)-\sin (2A)=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{2B-2A}{2}\cdot \cos \frac{2B+2A}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \sin (B-A)\cdot \cos(B+A)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin (B-A)=0 \vee \cos (B+A)=0}\)
\(\displaystyle{ B-A=0}\) z pierwszego równania
\(\displaystyle{ B=A}\)
Z drugiego równania wychodzi dokładny kąt.
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Trójkąt ABC
Ale coś mi się tu nie zgadza. Weźmy trójkąt prostokątny NIErównoramienny, gdzie: \(\displaystyle{ a=1,b= \sqrt{3}, A=30 stopni, B=60 stopni, C=90}\). Wtedy istotnie będziemy mieli: \(\displaystyle{ \frac{\cos\left( A\right) }{b}= \frac{\cos\left( B\right) }{a}}\), ale trójkąt nie będzie równoramienny. Co wówczas?
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Trójkąt ABC
Zauważ, że dla trójkąta równoramiennego teza jest niemal oczywista. Wobec tego treść zadania powinna brzmieć:
"Wykaż, że jeżeli ... , to trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.
Dowolny trójkąt prostokątny spełnia warunek z zadania.
"Wykaż, że jeżeli ... , to trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.
Dowolny trójkąt prostokątny spełnia warunek z zadania.