Oblicz długość okręgu i pole koła

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 27 cze 2015, o 19:05

Oblicz długość okręgu i pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości a.

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 27 cze 2015, o 19:10

Wystarczy wiedzieć, że promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3} h}\) , gdzie \(\displaystyle{ h}\) to wysokość trójkąta i znać wzory na długość okręgu/pole koła.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 27 cze 2015, o 22:17

A skąd wiadomo, że promień okręgu wpisanego w trójkąt wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\)?

musialmi · Post autor: **musialmi** » 27 cze 2015, o 22:19

Ten fakt podaje się w gimnazjum Choć rozumiem cię, że go nie pamiętasz - kto by się uczył takich faktów na pamięć... ;p

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 27 cze 2015, o 22:37

Nie chodzi o pamięć, ani gdzie i kiedy się go podaje, tylko jaki jest dowód...

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 27 cze 2015, o 22:47

Zauważ, że w trójkącie równobocznym środkowa trójkąta, dwusieczna, symetralna zawierają się w wysokości tego trójkąta. I przypomnij sobie, czym jest punkt przecięcia środkowych oraz gdzie leży środek okręgu wpisanego w trójkąt.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 27 cze 2015, o 22:51

A z czego wynika, ,że środkowa, dwusieczna i symetralna zawierają się w wysokości?

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 28 cze 2015, o 00:10

Tak już jest z trójkątem równobocznym.

Dario1 · Post autor: **Dario1** » 28 cze 2015, o 00:23

Słabe wytłumaczenie.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 28 cze 2015, o 10:24

Dowód jest geometryczny, a widać to od razu. Jak poprowadzisz wysokość w takim trójkącie, to dostajesz dwa trójkąty - lewy i prawy. Każdy z nich ma kąt \(\displaystyle{ 90^\circ}\) (bo wysokość tworzy kąt prosty z podstawą) i \(\displaystyle{ 60^\circ}\), bo to jeden z kątów trójkąta równobocznego. Zatem pozostały kąt ma...
Z bokami coś podobnego.