Oblicz długość okręgu i pola koła

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: Dario1 »

Oblicz długość okręgu i pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: Poszukujaca »

Aby obliczyć promień koła wpisanego w ten trójkąt, wystarczy zastosować twierdzenie Pitagorasa i własności trójkąta o kątach \(\displaystyle{ 30, 60, 90}\) stopni.

tzn utworzyć równanie: \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2} a\right)^{2}+r^{2}=(2r)^{2}}\)
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: Dilectus »

Dario1, pomyśl tak:

1. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się na przecięciu symetralnych boków.

2. W trójkącie równobocznym wysokości pokrywają się z symetralnymi boków i ze środkowymi.

3. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. W trójkącie równobocznym punkt ten pokrywa się z punktem przecięcia symetralnych boków i z punktem przecięcia wysokości.

4. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) - spróbuj to udowodnić (z tw. Pitagorasa)

5. Wobec powyższego promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku \(\displaystyle{ a}\) równa się

\(\displaystyle{ R= .....}\)

Jak to przemyślisz, to zobaczysz, że reszta zadania jest banalna.
Dario1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1371
Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 14 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: Dario1 »

Poszukująca, należy obliczyć długość i pole koła OPISANEGO, a nie wpisanego.

Dilectus, a skąd wiadomo, że w równobocznym wysokości pokrywają się z symetralnymi i środkowymi.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: Poszukujaca »

Przepraszam bardzo za nieuważne przeczytanie treści zadania.

Fakt, że wysokości pokrywają się z symetralnymi i środkowymi, wynika bezpośrednio z własności trójkąta równobocznego. Wydaje mi się, że nic tu nie trzeba udowadniać. Miary kątów "mówią same za siebie".
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: Dilectus »

Dario1 pisze:Dilectus, a skąd wiadomo, że w równobocznym wysokości pokrywają się z symetralnymi i środkowymi.
To jest oczywiste. Spróbuj to sam udowodnić.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Oblicz długość okręgu i pola koła

Post autor: karolex123 »

Fakt ten rzeczywiście jest oczywisty, a wynika on bezpośrednio z przystawania trójkątów. Poprowadź sobie np. wysokość w trójkącie równobocznym i udowodnij, że powstałe dwa trójkąty są przystające.
ODPOWIEDZ