Równoległobok ABCD

[Dario1]

Na przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) obieramy dowolny punkt \(\displaystyle{ O}\) i prowadzimy przezeń dwie proste: \(\displaystyle{ k||AD}\) i \(\displaystyle{ l||AB}\). Proste te dzielą równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) ma cztery równoległoboki. Wykaż, że dwa spośród tych równoległoboków mają równe pola.

[a456]

Uzasadnij najpierw, że pola trójkątów \(\displaystyle{ BCO}\) i \(\displaystyle{ COD}\) są równe (łatwe).

[Dario1]

No, ale nie będą miały równych pól. Trójkąty BCO i COD?

[a456]

Niech \(\displaystyle{ B'}\) i \(\displaystyle{ D'}\) będą odpowiednio rzutami punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) na przekątną \(\displaystyle{ AC}\). Odcinki \(\displaystyle{ BB'}\) i \(\displaystyle{ DD'}\) są w szczególności wysokościami w trójkątach \(\displaystyle{ BCO}\) i \(\displaystyle{ COD}\) opuszczonymi na podstawę \(\displaystyle{ OC}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ BB'}\) = \(\displaystyle{ DD'}\) bo trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ACD}\) są przystające.
Czy te wskazówki już wystarczą?

[bakala12]

Inaczej. Oznacz sobie punkty przecięcia tych prostych z bokami \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\) odpowiednio przez \(\displaystyle{ K,L,M,N}\). Z twierdzenia Talesa mamy: \(\displaystyle{ \frac{NO}{OL}=\frac{AO}{OC}=\frac{KO}{OM}}\). Zatem \(\displaystyle{ ON \cdot OM = OK \cdot OL}\). Wywnioskujesz z tej równości tezę?

[Dario1]

Do a456:

Zgadza się, zrobiłem zły rysunek i nie zauważyłem tego. Trójkąty BCO i COD mają równe pola. Jak z tego wnioskować równość pól równoległoboków?

Do bakala:

Zgadzam się z tą równością, jednak z czego wynika równość pól równoległoboków BKOL i DNOM?

[bakala12]

Ze wzoru na pole równoległoboku tylko to z kątem \(\displaystyle{ P=ab\sin\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to miara kąta między bokami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

[a456]

Dodajmy do tego, że te proste przecinają boki \(\displaystyle{ AB, BC, CD, AD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ P, Q, R, S}\).

Po kolei trójkąty: \(\displaystyle{ POB\equiv BOQ, QOC\equiv ROC, ROD\equiv ODS}\).
Z tego od razu mamy, że ich pola są równe.
Mamy również: \(\displaystyle{ [BOQ]+[QOC] = [ROC]+[ROD]}\), a stąd \(\displaystyle{ [BOQ]=[ROD]}\) i od razu \(\displaystyle{ [ORDS]=[PBQO]}\).
\(\displaystyle{ [XYZ...]}\) - Pole wielokąta \(\displaystyle{ XYZ...}\)