Sinusy kątów
-
a456
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 7 razy
Sinusy kątów
Jakie warunki powinny spełniać kąty wewnętrzne \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) trójkąta, aby wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}\) była największa lub najmniejsza?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Sinusy kątów
Ustal \(\displaystyle{ \gamma}\). Sinus jest ściśle wklęsły w \(\displaystyle{ [0,\pi]}\), więc funkcja\(\displaystyle{ h(t)=\sin(x+t)+\sin(x-t)}\) jest ściśle malejąca. Jaki stąd wniosek?
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Sinusy kątów
Dla trójkąta prawdziwy jest wzór:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}\)
Oczywiście cosinusy po prawej stronie są dodatnie (bo są brane z kątów z przedziału \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\)) a więc na mocy nierówności o średniej geometrycznej i arytmetycznej mamy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \le 4\left(\frac{1}{3}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2} +\cos \frac{\gamma}{2} \right)\right)^{3}}\)
Dla sumy trzech cosinusów w najbardziej wewnętrznym nawiasie stosujemy nierówność Jensena, cosinus jest wklęsły na przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\), więc będzie:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \le 4\left(\frac{1}{3}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}+ \cos \frac{\gamma}{2} \right)\right)^{3} \le 4\left( \cos \frac{\alpha + \beta + \gamma}{6}\right)^{3}=4\cos^{3}\frac{\pi}{6}=4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
Wobec powyżeszgo mamy ograniczenie górne na sumę sinusów. Równość w tych oszacowaniach zachodzi w szczególności gdy pierwsza nierówność (AM-GM) staje się równością, a to jest prawdą dla \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma}\). Wtedy też druga nierówność staje się równością. Wobec tego wartość \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma}\) osiąga maksimum równe \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}}{2}}\) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest równoboczny.
Odnośnie minimum, to ono nie istnieje. Nie będę dowodził tego formalnie, bo szkoda czasu, ale pokażę ideę. Kiedy nasza suma może być mała? Oczywiście sinusy są nieujemne, zatem nasza suma jest również nieujemna. Teraz można pokazać że może ona być dowolnie bliska zeru. Istotnie, rozważmy dowolny trójkąt równoramienny o kącie \(\displaystyle{ \epsilon}\) przy podstawie. Wówczas ma on kąty \(\displaystyle{ \epsilon, \epsilon, \pi - 2\epsilon}\). Obliczmy sumę sinusów dla \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\), widać, że w granicy również otrzymamy zero. Stąd nasz minimum mogłoby być zerem, ale zero nie jest osiągane, bo kąty w trójkącie są z przedziału \(\displaystyle{ \left(0,\pi \right)}\). Wobec tego reasumując, pokazana została nierówność:
\(\displaystyle{ 0<\sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma \le \frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
dla dowolnego trójkąta. Powyższe rozumowanie pokazuje również, że stałych stojących po lewej i prawej stronie nie da się poprawić.
Dziękuję za uwagę
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}\)
Oczywiście cosinusy po prawej stronie są dodatnie (bo są brane z kątów z przedziału \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\)) a więc na mocy nierówności o średniej geometrycznej i arytmetycznej mamy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \le 4\left(\frac{1}{3}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2} +\cos \frac{\gamma}{2} \right)\right)^{3}}\)
Dla sumy trzech cosinusów w najbardziej wewnętrznym nawiasie stosujemy nierówność Jensena, cosinus jest wklęsły na przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\), więc będzie:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \le 4\left(\frac{1}{3}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}+ \cos \frac{\gamma}{2} \right)\right)^{3} \le 4\left( \cos \frac{\alpha + \beta + \gamma}{6}\right)^{3}=4\cos^{3}\frac{\pi}{6}=4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
Wobec powyżeszgo mamy ograniczenie górne na sumę sinusów. Równość w tych oszacowaniach zachodzi w szczególności gdy pierwsza nierówność (AM-GM) staje się równością, a to jest prawdą dla \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma}\). Wtedy też druga nierówność staje się równością. Wobec tego wartość \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma}\) osiąga maksimum równe \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}}{2}}\) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest równoboczny.
Odnośnie minimum, to ono nie istnieje. Nie będę dowodził tego formalnie, bo szkoda czasu, ale pokażę ideę. Kiedy nasza suma może być mała? Oczywiście sinusy są nieujemne, zatem nasza suma jest również nieujemna. Teraz można pokazać że może ona być dowolnie bliska zeru. Istotnie, rozważmy dowolny trójkąt równoramienny o kącie \(\displaystyle{ \epsilon}\) przy podstawie. Wówczas ma on kąty \(\displaystyle{ \epsilon, \epsilon, \pi - 2\epsilon}\). Obliczmy sumę sinusów dla \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\), widać, że w granicy również otrzymamy zero. Stąd nasz minimum mogłoby być zerem, ale zero nie jest osiągane, bo kąty w trójkącie są z przedziału \(\displaystyle{ \left(0,\pi \right)}\). Wobec tego reasumując, pokazana została nierówność:
\(\displaystyle{ 0<\sin \alpha + \sin \beta +\sin \gamma \le \frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
dla dowolnego trójkąta. Powyższe rozumowanie pokazuje również, że stałych stojących po lewej i prawej stronie nie da się poprawić.
Dziękuję za uwagę