dowód uproszczonego zadania z olimpiady

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 15 cze 2015, o 18:31

Dany jest trójkąt ABC. Punkt wewnętrzny E środkowej AD tego trójkąta rzutujemy prostokątnie na bok BC, otrzymujemy F. Punkt wewnętrzny M odcinka EF rzutujemy prostokątnie na boki AC i AB, otrzymując punkty odpowiednio N i P. Niech N,E i P leżą na jednej prostej. Udowodnij, że punkty M, Y, N, E leżą na jednym okręgu.

a456 · Post autor: **a456** » 15 cze 2015, o 19:17

Czym jest punkt \(\displaystyle{ Y}\)? W każdym razie trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ Y}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ MNE}\) czymkolwiek jest ten punkt.

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 16 cze 2015, o 05:42

Punkty X i Y są punktami przecięcia z bokami AB i AC prostej równoległej do BC poprowadzonej przez przez punkt E.

a456 · Post autor: **a456** » 16 cze 2015, o 14:48

Oczywiście \(\displaystyle{ \angle EFD}\) oraz \(\displaystyle{ \angle MNY}\) są proste. Ponieważ prosta \(\displaystyle{ XY}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle EFD}\) jest prosty, to również \(\displaystyle{ \angle FEY}\) jest prosty, a z tego już wynika teza.

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 17 cze 2015, o 06:28

a456 pisze:Oczywiście \(\displaystyle{ \angle EFD}\) oraz \(\displaystyle{ \angle MNY}\) są proste. Ponieważ prosta \(\displaystyle{ XY}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle EFD}\) jest prosty, to również \(\displaystyle{ \angle FEY}\) jest prosty, a z tego już wynika teza.

Wynikanie z tego tezy jest dla mnie niewidoczne nawet pomimo wcześniejszej znajomości tych faktów. Wyklaruj, może?

a456 · Post autor: **a456** » 17 cze 2015, o 07:43

To, ze te punkty leżą na jednym okręgu oznacza, że na czworokacie, ktorego wierzchołkami są te punkty - można opisać okrąg. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby na czworokacie można było opisać okrąg jest to, że suma przeciwleglych kątów wewnętrznych musi wynosic 180 stopni. Suma miar dwóch kątów prostych wlasnie tyle wynosi.

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 17 cze 2015, o 07:51

a456 pisze:To, ze te punkty leżą na jednym okręgu oznacza, że na czworokacie, ktorego wierzchołkami są te punkty - można opisać okrąg. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby na czworokacie można było opisać okrąg jest to, że suma przeciwleglych kątów wewnętrznych musi wynosic 180 stopni. Suma miar dwóch kątów prostych wlasnie tyle wynosi.

No cóż. Nie na moim rysunku. /Będę dostępny później/