Odległość między środkami okręgów

[Antek1122]

Potrzebuję wytłumaczenia tego zadania. Wiem, że zastosowany został wzór skróconego mnożenia, aczkolwiek nie posługuję się nimi dość żwawo, stąd ten problem. Poniżej napiszę zadanie i obliczenia i proszę o wytłumaczenie mi krok po kroku jak został zastosowany wzór skróconego mnożenia. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

\(\displaystyle{ \[x^{2}+y^{2}+2x-6y+2=0

(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-6y+9)-8=0


(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=8


(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=(\sqrt{8})^{2}


S_{1}=(-1;3) r_{1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\]}\)

[Poszukujaca]

No to po kolei.

Pierwsze przejście to grupowanie wyrażeń na te ze zmienną x i y. Ponadto odejmuje się specjalnie ósemkę, aby liczby pasowały do rządanego wzoru.

[Antek1122]

A dlaczego w pierwszym nawiasie zostało dodane +1, natomiast w drugim +9?

[Poszukujaca]

Ponieważ dzięki temu możesz zwianąć \(\displaystyle{ x^{2}+2x+1}\) w \(\displaystyle{ (x+1)^{2}}\) za pomocą wzoru skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\)-- 14 cze 2015, o 16:31 --Te liczby są dodawane tak specjalnie, żeby nam do wzoru pasowało. Niestety na to jakie dodać trzeba po prostu wpaść.

[Antek1122]

No właśnie mam problem z dodaniem tych liczb, a mianowicie nie wiem w jaki sposób wpaść na to, by wiedzieć, które dodać.

[Poszukujaca]

Trzeba przy tym dużej świadomości jak działają wzoru skróconego mnożenia.

Najlepiej zrobić po prostu kilka przykład i potem będzie już łatwo.

A następne przejścia rozumiesz?

[Antek1122]

Następne już rozumiem, ale próbuję znaleźć wytłumaczenie skąd biorą się te liczby, bo stosując ten wzór przykładowo do \(\displaystyle{ x ^{2} +2x}\) nie wiem dlaczego dodana została liczba 1, gdyż jak wzór pokazuje \(\displaystyle{ a ^{2} +2ab+b ^{2}}\) wychodzi: \(\displaystyle{ x ^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2^2}\). Nie wiem w jaki sposób to zrozumieć..

[Poszukujaca]

Nie, wzór nie działa tak, jak napisałeś.

Zauważ, że: \(\displaystyle{ a=x, b=1}\)

[Antek1122]

\(\displaystyle{ x^2+2 \cdot x \cdot 1+(1) ^{2} = x^2+2x+1}\) < --- tutaj jeszcze rozumiem

natomiast tutaj:

\(\displaystyle{ y^2-6y = y^2-2 \cdot y \cdot (-6) + (6) ^{2} = y^2+12y+36}\)

tutaj już inne liczby wychodzą, więc nie wiem dlaczego jest +9

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ y^{2}-6y+9=(y-3)^{2}=y^{2}+2 \cdot (-3) \cdot y+(-3)^{2}=y^{2}-6y+9}\)

[Antek1122]

Rozumiem, aczkolwiek wzór to: \(\displaystyle{ a^2 - 2ab +b^2}\).

Więc \(\displaystyle{ a = y, b = -6}\)

[Poszukujaca]

Tak, dokładnie.

[Antek1122]

Więc zasada jest taka, że jeśli mam napisany przykład:

\(\displaystyle{ y^2-6y}\) najpierw doprowadzam go do postaci ze wzoru, czyli będzie \(\displaystyle{ (y-3)^2}\), następnie znów korzystam ze wzoru i tym razem moje \(\displaystyle{ b=-3}\), kolejno liczę tak, jak napisałaś i wychodzi mi wynik. Po dodaniu dwóch liczb z nawiasów otrzymuję 10, dlatego odejmuję 2, by zgadzał się wzór. Dobrze myślę?

[Poszukujaca]

Tak. Ładnie to zinterpretowałeś

[Antek1122]

Jesteś super, bardzo mi pomogłaś, dziękuję.