Ukryta treść:
Oznaczmy: w trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym górna podstawa jest krótsza, ramiona przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), punkty \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\) są odpowiednio środkami górnej i dolnej podstawy oraz \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia się przekątnych. Korzystamy z tw. według którego punkty \(\displaystyle{ P,Q,R}\) leżą na jednej prostej. Wykażemy, że punkt \(\displaystyle{ S}\) leży na prostej \(\displaystyle{ QR}\). Aby tak było to odcinki \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ PR}\) muszą przecinać się w jednym punkcie (chodzi oczywiście o punkt przecięcia się przekątnych).
Z tw. Cevy musi zachodzić związek \(\displaystyle{ \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PD}{DA} = 1}\), oczywiście \(\displaystyle{ AR=RB}\) więc wystarczy pokazać, że (1)\(\displaystyle{ \frac{BC}{PC} \cdot \frac{PD}{DA} = 1}\).
Z tw. Talesa mamy \(\displaystyle{ \frac{PD}{DQ}= \frac{PA}{AR}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{PC}{CQ} = \frac{PB}{RB}}\). Dzieląc stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{PD}{PC} =\frac{PA}{PB}}\). Podstawiając do nierówności (1) dostajemy stosunek: \(\displaystyle{ \frac{PA}{PB} = \frac{DA}{BC}}\), a ten jest prawdziwy. Czyli proste o których mowa przecinają się w jednym punkcie \(\displaystyle{ S}\) skąd teza zadania.
Z tw. Cevy musi zachodzić związek \(\displaystyle{ \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PD}{DA} = 1}\), oczywiście \(\displaystyle{ AR=RB}\) więc wystarczy pokazać, że (1)\(\displaystyle{ \frac{BC}{PC} \cdot \frac{PD}{DA} = 1}\).
Z tw. Talesa mamy \(\displaystyle{ \frac{PD}{DQ}= \frac{PA}{AR}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{PC}{CQ} = \frac{PB}{RB}}\). Dzieląc stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{PD}{PC} =\frac{PA}{PB}}\). Podstawiając do nierówności (1) dostajemy stosunek: \(\displaystyle{ \frac{PA}{PB} = \frac{DA}{BC}}\), a ten jest prawdziwy. Czyli proste o których mowa przecinają się w jednym punkcie \(\displaystyle{ S}\) skąd teza zadania.
