Okręgi przecinające się i trójkąt równoramienny- dowód

[karolex123]

Dane jest okrąg \(\displaystyle{ o _{1}}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ S}\) oraz okrąg \(\displaystyle{ o _{2}}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ S}\), przecinający okrąg \(\displaystyle{ o _{1}}\) w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Z punktu \(\displaystyle{ A}\) poprowadzono sieczną tych okręgów przecinającą okrąg \(\displaystyle{ o _{1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\), zaś okrąg \(\displaystyle{ o _{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Wykaż, że trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest równoramienny.

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu

[Michalinho]

Zwykły rachunek kątów. Oznaczmy \(\displaystyle{ \angle ASC = 2\alpha, \ \angle CSB=2\beta}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \angle SAC=90^\circ-\alpha}\) i \(\displaystyle{ \angle SBC=90^\circ-\beta}\). Czworokąt \(\displaystyle{ ASBD}\) jest wpisany w \(\displaystyle{ o_2}\). Stąd \(\displaystyle{ 90^\circ-\beta=\angle SAC=180^\circ-\angle SBD=180^\circ-(\angle CBD+90^\circ-\alpha) =90^\circ+\alpha-\angle CBD}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle CBD=90^\circ+\alpha+\beta}\). Ponownie \(\displaystyle{ \angle BDC=180^\circ-\angle ASB=180^\circ-2\alpha-2\beta}\). Z sumy kątów w \(\displaystyle{ BDC}\): \(\displaystyle{ \angle BCD=90^\circ+\alpha+\beta=\angle CBD}\), więc \(\displaystyle{ BDC}\) jest równoramienny.

[karolex123]

Zrobiłem to trochę inaczej (z oznaczeniami jak u Ciebie):
Ponieważ \(\displaystyle{ \angle SAC=90 ^{\circ}-\alpha=\angle SCA}\) oraz \(\displaystyle{ \angle SBC=90 ^{\circ}-\beta=\angle BCS}\) to \(\displaystyle{ \angle BCD=180 ^{\circ}- \alpha - \beta}\). Dalej
\(\displaystyle{ \angle SAD=90 ^{\circ}+ \alpha}\)
i ponieważ czworokąt \(\displaystyle{ SADB}\) jest wpisany w okrąg to:
\(\displaystyle{ \angle SBD=90 ^{\circ}- \alpha}\)
Stąd \(\displaystyle{ \angle CBD=180 ^{\circ}- \alpha - \beta =\angle BCD}\) czyli trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\) jest równoramienny.

[Michalinho]

Wszystko spoko tylko zamiast minusów przy alfach i betach powinny być plusy i na odwrót.