inwersja względem okręgu wpisanego w trójkąt

[wielkireturner]

Wykazać, że inwersja względem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ (ABC)}\) przeprowadza okrąg opisany na tym trójkącie w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \frac{r}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu wpisanego.

Jakieś cudowne podpowiedzi?

[bakala12]

Wskazówka: Zrób rysunek. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) środki okręgu wpisanego i opisanego na trójkątcie \(\displaystyle{ ABC}\). Niech prosta \(\displaystyle{ OI}\) przecina okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ K,L}\) przy czym nie tracąc ogólności rozumowania można założyć iż punkty \(\displaystyle{ K,I,O,L}\) leżą na tej prostej w tej właśnie kolejności. (Jeżeli \(\displaystyle{ I=O}\) to prostą obieramy dowolnie). Wówczas niech \(\displaystyle{ K',L'}\) będą obrazami punktów \(\displaystyle{ K,L}\) w inwersji z zadania. Korzystając z twierdzenia Eulera, które orzeka, że \(\displaystyle{ OI^{2}=R^{2}-2Rr}\) gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień okręgu opisanego, a \(\displaystyle{ r}\) promień okręgu wpisanego, a także z definicji inwersji nietrudno wyznaczyć długości odcinków \(\displaystyle{ IK'}\) oraz \(\displaystyle{ IL'}\). Stąd łatwo dostać \(\displaystyle{ K'L'=r}\). Widać, że obraz inwersyjny okręgu opisanego względem okręgu wpisanego jest więc okręgiem o średnicy \(\displaystyle{ K'L'}\) a to kończy rozwiązanie.
Gdyby była potrzeba rozwiania wątpliwości rachunkowych bądź innych służę pomocą.