Okrąg opisany na trapezie

[Dario1]

Wykaż, że na trapezie można opisać okrąg tylko wtedy, gdy jest to trapez równoramienny.

Mniej więcej udowodniłem, że jak jest równoramienny to można go wpisać w okrąg. Nie wiem jak pokazać, że jak nie jest równoramienny to nie można.

[NogaWeza]

To może nie wprost? Jeśli oznaczyć kąty, jakie dłuższa podstawa tworzy z ramionami przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), to kąty jakie będzie tworzyć z nimi krótsza podstawa będą miały miarę kolejno \(\displaystyle{ 180^{o} - \alpha}\) i \(\displaystyle{ 180^{o} - \beta}\). Zakładamy, że \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\). Dalej z warunku wpisania w okrąg \(\displaystyle{ \alpha + 180^{o} - \beta = 180^{o}}\), stąd \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) a jest to sprzeczne z założeniem, które poczyniliśmy, co pokazuje, że te kąty muszą być równe, a trapez równoramienny.

[SlotaWoj]

Wskazówka: Skoncentruj się na symetralnych podstaw (równoległych boków) trapezu.

[Dario1]

NogaWeza z czego wynika ten warunek wpisania w okrąg? Jakiś dowód może?-- 31 maja 2015, o 07:52 --NogaWeza z czego wynika ten warunek wpisania w okrąg? Jakiś dowód może?

SlotaWoj dzięki za podpowiedź. Faktycznie przy trapezie nierównoramiennym symetralne podstaw nie przetną się, a to warunek na wpisanie w okrąg.

[NogaWeza]

O jejku, dużo pisania. No ten dowód jest prosty, wynika z kątów opisanych na tym samym łuku, z których jeden jest środkowy. Wpisz na Wikipedii "Okrąg opisany na wielokącie" i wszystko tam jest, choć nie ukrywam, że pomysł z symetralnymi podoba mi się bardziej.