Pole prostokąta - dowód

[xxmikolajx]

Witam, czy wie ktoś w jaki sposób pierwotnie dowiedziono, że pole prostokąta to \(\displaystyle{ a \cdot b}\)?
(nie oczekuję dowodu opartego na całkach, które same w sobie używają pola prostokąta)

[ZF+GCH]

Nie wydaje mi się, żeby tego dowodzono. Czego niby miano dowodzić? Nie było żadnych aksjomatów miary, które należałoby spełnić. Podejrzewam, że raczej patrzono tak : gdy ułożę \(\displaystyle{ k}\) rządków po \(\displaystyle{ m}\) kostek, to wychodzi, że jest ich \(\displaystyle{ km}\). Przypomina to prostokąt. Niech więc \(\displaystyle{ ab}\) oznacza pole prostokąta, gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są długościami boków. Domyślano się pewnie, że ma być tak, że gdy \(\displaystyle{ A \subset B}\), to pole \(\displaystyle{ A}\) jest nie większe niż pole \(\displaystyle{ B}\) (monotoniczność). Gdy rozbiję prostokąt na dwa, to suma pól równa polu sumy (addytywność). Ale myślę, że nie było to sformalizowane. Dopiero przy pomocy pola prostokątu (przecież najprostszej narzucającej się planarnej figury) można wykazać wzór na pole trójkąta prostokątnego (z addytywności), trójkąta, pole trapezu, równoległoboku. To pole prostokątu wygenerowało przy pomocy pewnych wymaganych własności pola innych figur. Pole koła to już kwestia przybliżeń, wynikająca z monotoniczności, później jeszcze zaingerowała piękna metoda całkowania Eudoksosa. Mówiąc precyzyjniej, prostokąty jako baza płaszczyzny wygenerowały pewną sensowną miarę o sensownych własnościach (przy czym oczywiście nikt nie myślał wtedy o mierze oraz o tym, czy wszystkie zbiory są mierzalne). Taka jest moja hipoteza. Jeśli się mylę, to przepraszam

[AndrzejK]

Pole prostokąta można łatwo otrzymać korzystając z addytywności funkcji pola powierzchni. Podziel sobie prostokąt na 4 części i pozapisuj zależności między polami, a potem korzystaj z faktu, że jeśli funkcja jest addytywna to jest postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax}\), dla pewnej stałej nieujemnej \(\displaystyle{ a}\).

[musialmi]

294083.htm

[xxmikolajx]

widziałem ten temat, ale jakoś odpowiedzi tam zawarte nie były dla mnie wyczerpujące, ale dowiedziałem się już w sumie, że nie ma oficjalnej wersjii jak powstał ten wzór