Dziesięciokąt wpisany w okrąg.

[Yrish]

Witam! Potrzebuję podpowiedzi do jednego z zadań:

W okrąg o średnicy 1 wpisano dziesięciokąt foremny \(\displaystyle{ A B C D E F G H I J}\). Dla punktu \(\displaystyle{ P}\) lezącego na tym okręgu wyznaczyć wartość wyrażenia:

\(\displaystyle{ \left| AP\right| ^{2} + \left| BP\right| ^{2} + ... + \left| JP\right| ^{2}}\)

Potrzebuję punktu startowego. Od czego zacząć rozważania?
Czy podzielić zadanie na sytuacje np.
1. gdy P pokrywa się z jednym z punktów A,B,C,D,E,F,G,H,I lub J?
2. gdy P leży na dokładnie na środku łuku AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ lub JA?
3. sytuacja ogólna, gdy P jest dowolnym punktem nie pokrywającym się z powyższymi?

Może są jakieś inne drogi rozwiązania, których ja nie dostrzegam? Z góry dziękuję za pomoc w rozwiązaniu, pozdrawiam!

[Zahion]

Poprowadz średnice i pamiętaj o tym, że średnica okręgu jest przeciwprostokątną trójkąta wpisanego w ten okrąg.

[Yrish]

Czyli jeśli dobrze rozumiem dostanę, gdy połączę odpowiednie wierzchołki średnicami okręgu to otrzymam trójkąty prostokątne, a dzięki temu mogę skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i suma kwadratów otrzymanych odcinków jest równa kwadratowi średnicy, która w przypadku zadania wynosi 1, więc:

\(\displaystyle{ \left( \left| AP\right|^2 + \left| FP\right|^2 \right) + ... +\left( \left| EP\right|^2 + \left| JP\right|^2 \right) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5}\)

Dziękuję za podpowiedź

[bakala12]

Tak jest. Tylko trzeba pamiętać, że jak punkt \(\displaystyle{ P}\) jest którymś z wierzchołków dziesięciokąta, to jeden z trójkątów zredukuje się do odcinka. Nie zmienia to tak naprawdę niczego w obliczeniach, ale warto zauważyć, że taka sytuacja też jest możliwa i powoływanie się na twierdzenie Pitagorasa jest w tym momencie niezbyt dobre.
Ale ogólnie jest jak najbardziej ok

[a4karo]

Wsk. \(\displaystyle{ \vec{AP}= \vec{AO} +\vec{OP}}\)