Witam! Potrzebuję podpowiedzi do jednego z zadań:
W okrąg o średnicy 1 wpisano dziesięciokąt foremny \(\displaystyle{ A B C D E F G H I J}\). Dla punktu \(\displaystyle{ P}\) lezącego na tym okręgu wyznaczyć wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \left| AP\right| ^{2} + \left| BP\right| ^{2} + ... + \left| JP\right| ^{2}}\)
Potrzebuję punktu startowego. Od czego zacząć rozważania?
Czy podzielić zadanie na sytuacje np.
1. gdy P pokrywa się z jednym z punktów A,B,C,D,E,F,G,H,I lub J?
2. gdy P leży na dokładnie na środku łuku AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ lub JA?
3. sytuacja ogólna, gdy P jest dowolnym punktem nie pokrywającym się z powyższymi?
Może są jakieś inne drogi rozwiązania, których ja nie dostrzegam? Z góry dziękuję za pomoc w rozwiązaniu, pozdrawiam!
Dziesięciokąt wpisany w okrąg.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dziesięciokąt wpisany w okrąg.
Poprowadz średnice i pamiętaj o tym, że średnica okręgu jest przeciwprostokątną trójkąta wpisanego w ten okrąg.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 19 maja 2015, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Dziesięciokąt wpisany w okrąg.
Czyli jeśli dobrze rozumiem dostanę, gdy połączę odpowiednie wierzchołki średnicami okręgu to otrzymam trójkąty prostokątne, a dzięki temu mogę skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i suma kwadratów otrzymanych odcinków jest równa kwadratowi średnicy, która w przypadku zadania wynosi 1, więc:
\(\displaystyle{ \left( \left| AP\right|^2 + \left| FP\right|^2 \right) + ... +\left( \left| EP\right|^2 + \left| JP\right|^2 \right) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5}\)
Dziękuję za podpowiedź
\(\displaystyle{ \left( \left| AP\right|^2 + \left| FP\right|^2 \right) + ... +\left( \left| EP\right|^2 + \left| JP\right|^2 \right) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5}\)
Dziękuję za podpowiedź
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Dziesięciokąt wpisany w okrąg.
Tak jest. Tylko trzeba pamiętać, że jak punkt \(\displaystyle{ P}\) jest którymś z wierzchołków dziesięciokąta, to jeden z trójkątów zredukuje się do odcinka. Nie zmienia to tak naprawdę niczego w obliczeniach, ale warto zauważyć, że taka sytuacja też jest możliwa i powoływanie się na twierdzenie Pitagorasa jest w tym momencie niezbyt dobre.
Ale ogólnie jest jak najbardziej ok
Ale ogólnie jest jak najbardziej ok