Dany jest trójkąt ABC w którym \(\displaystyle{ |BC|=a}\) , \(\displaystyle{ |AC|=b}\) oraz \(\displaystyle{ |<ACB|=120 ^{o}}\) . Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\) tego trójkąta. Udowodnij, że \(\displaystyle{ |CD|= \frac{1}{2} \sqrt{a ^{2} -ab + b^{2} } .}\)
Srodkowa w trojkacie
-
Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Srodkowa w trojkacie
Z twierdzenia Stewarta długość środkowej to:
\(\displaystyle{ |CD|= \frac{1}{2} \sqrt{2a ^{2} + 2b^{2}-c^2 }}\)
Natomiast z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos 120^\circ=a^2+b^2+ab}\).
Stąd natychmiast:
\(\displaystyle{ |CD|= \frac{1}{2} \sqrt{a ^{2}-ab + b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |CD|= \frac{1}{2} \sqrt{2a ^{2} + 2b^{2}-c^2 }}\)
Natomiast z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos 120^\circ=a^2+b^2+ab}\).
Stąd natychmiast:
\(\displaystyle{ |CD|= \frac{1}{2} \sqrt{a ^{2}-ab + b^{2}}}\)