W trójkącie równobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) wysokości \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) przecięły się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Wykaż, że trójkąt \(\displaystyle{ DSE}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ BDE}\).
Oznaczyłem wybrane kąty, ale nie wiem co dalej (domyślam się że dalsza część jest banalna, ale nie widzę tego)
równoboczny trójkąt.
równoboczny trójkąt.
Ostatnio zmieniony 4 maja 2015, o 20:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
równoboczny trójkąt.
Na czworokącie \(\displaystyle{ ADSE}\) da się opisać okrąg. Z twierdzenia o siecznych:
\(\displaystyle{ |BS|\cdot |BE|=|BD|\cdot |BA|\Rightarrow \frac{|BD|}{|BE|}=\frac{|BS|}{|BA|}=\frac{2|ES|}{2|ED|}=\frac{|SD|}{|ED|}}\) (bo wysokości są jednocześnie środkowymi). Ponadto \(\displaystyle{ \angle DES=\angle BED}\), więc \(\displaystyle{ DSE}\) i \(\displaystyle{ BDE}\) są podobne.
\(\displaystyle{ |BS|\cdot |BE|=|BD|\cdot |BA|\Rightarrow \frac{|BD|}{|BE|}=\frac{|BS|}{|BA|}=\frac{2|ES|}{2|ED|}=\frac{|SD|}{|ED|}}\) (bo wysokości są jednocześnie środkowymi). Ponadto \(\displaystyle{ \angle DES=\angle BED}\), więc \(\displaystyle{ DSE}\) i \(\displaystyle{ BDE}\) są podobne.