Pokazać, że symetria osiowa i środkowa jest izometrią

[karolex123]

Witam, mam problem z wykazaniem, że symetria osiowa i środkowa jest izometrią. Z translacją sobie poradziłem, jednak tutaj mam już trudności. Chodzi o to, aby w dowodzie zastosować własności i działania na wektorach. Z góry dzięki za wszelkie porady

[szw1710]

W symetrii środkowej względem \(\displaystyle{ S}\) mamy, że \(\displaystyle{ A'}\) jest obrazem \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \overrightarrow{SA'}=-\overrightarrow{SA}}\). Mamy wykazać, że \(\displaystyle{ |A'B'|=|AB|}\). Narysuj to sobie. Łatwo wykażesz, że \(\displaystyle{ \overrightarrow{A'B'}=-\overrightarrow{AB}}\). Symetria środkowa daje obraz odwrócony (skojarzenie optyczne). Z symetrią osiową podobne rozumowanie.

[szachimat]

A nie udaje się ogólnie dla dowolnych punktów pokazać, że ich odległości przed i po przekształceniu są takie same? A wektory zastosuje się przy wyznaczaniu obrazów tych punktów.

[szw1710]

Właśnie to postuluję, a wcześniej przypomniałem definicję.

[SlotaWoj]

A nie udaje się ogólnie dla dowolnych punktów pokazać, że ich odległości przed i po przekształceniu są takie same? A wektory zastosuje się przy wyznaczaniu obrazów tych punktów.

Bardzo proszę Szachimata o przykład.

[szachimat]

Symetria środkowa:
Niech \(\displaystyle{ A(x;y)}\), \(\displaystyle{ S(a;b)}\) i \(\displaystyle{ A'(x';y')}\)
Porównując wektory, \(\displaystyle{ \vec{AS}}\) i \(\displaystyle{ \vec{SA'}}\), albo tak jak napisał szw1710, lub wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka mamy:
\(\displaystyle{ x'=2a-x}\) i \(\displaystyle{ y'=2b-y}\)

Niech \(\displaystyle{ A( x_{1};y _{1})}\) i \(\displaystyle{ B( x_{2};y _{2} )}\)
Wówczas: \(\displaystyle{ A'(2a- x_{1};2b-y _{1})}\) i \(\displaystyle{ B'( 2a-x_{2};2b-y _{2} )}\)
A długość odcinka \(\displaystyle{ \left| A'B'\right|= \sqrt{(2a-x _{2} -2a+ x_{1})^2+(2b- y_{2} -2b+ y_{1} )^2}= \sqrt{ (x_{1}-x_{2})^2+( y_{1} -y _{2})^2 }}\)
A zatem otrzymujemy to samo co długość odcinka \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\)

[SlotaWoj]

Chyba się zaspanym okiem przyglądnąłem temu, co Sachimat napisał, bo przeczytałem:

• nie udaje się ogólnie dla dowolnych punktów pokazać, że ich odległości przed i po przekształceniu są takie same

(przeoczyłem A na początku i znak ? na końcu) więc sens wypowiedzi był przeciwstawny do tego, co przekazał i stąd moja prośba o przykład (w skutek niedoczytania, zupełnie niepotrzebna).

Szachimatowi dziękuję!

[karolex123]

Dziękuję wszystkim za odpowiedzi, jednak mam to udowodnić na płaszczyźnie bez układu współrzędnych. Znam definicje obu przekształceń, jednak mam trudność z wykazaniem, że rzeczywiście w symetrii środkowej zachodzi \(\displaystyle{ \vec{AB} =- \vec{A'B'}}\), gdzie \(\displaystyle{ A'=P(A)}\). A jak to wygląda w symetrii osiowej (również bez układu współrzędnych).

Ok, z symetrią środkową już sobie poradziłem

[szachimat]

Dziękuję wszystkim za odpowiedzi, jednak mam to udowodnić na płaszczyźnie bez układu współrzędnych.

Ok, z symetrią środkową już sobie poradziłem

Dobrze, że w czas to napisałeś, bo niepotrzebnie wklepywałbym rozwiązanie z symetrią osiową w układzie współrzędnych, ale i z tym problemem pewnie sobie sam poradzisz.

[karolex123]

Ok już ze wszystkim sobie poradziłem i wykorzystałem działania na wektorach
Dzięki wszystkim