Punkt wewnątrz czworokąta

[yasiex0r]

Cześć, męczę się z takim zadaniem:

Poprzez \(\displaystyle{ s _{1}, s _{2}, s _{3}, s_{4}}\) oznaczono odległości punktu wewnętrznego czworokąta od jego wierzchołków. Należy wykazać, że \(\displaystyle{ s _{1} + s _{2} + s _{3} + s_{4} \ge 2 \sqrt{2P}}\), przy czym \(\displaystyle{ P}\) to pole czworokąta.

Nijak mam pomysł jak się do tego zabrać.

[kicaj]

\(\displaystyle{ 2P= s_1 s_2 \sin \alpha +s_2 s_3 \sin \beta +s_3 s_4 \sin \gamma +s_4 s_1 \sin \delta \leq s_1 s_2 +s_2 s_3 +s_3 s_4 +s_4 s_1 =(s_1 +s_3)(s_2 +s_4)\leq \left( \frac{s_1 +s_3 + s_2 +s_4 }{2}\right)^2}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \alpha +\beta +\gamma +\delta =360^o.}\)

[yasiex0r]

Z czego wynika ostatnia nierówność?

[Zahion]

\(\displaystyle{ ab \le \left( \frac{a+b }{2}\right)^{2}}\). Podstaw pod \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) coś.

[yasiex0r]

Czyli nierówność związana ze średnimi, tylko przekształcona.

[Zahion]

Tak.

[yasiex0r]

Dziękuje serdecznie za pomoc.