Prostokąt wpisany w okrąg

hitback · Post autor: **hitback** » 16 kwie 2015, o 23:05

Hej, mam takie zadanie: Punkt $\displaystyle{ P}$ należy do okręgu opisanego na prostokącie o bokach $\displaystyle{ a,b}$. Wykaż, że suma kwadratów odległości $\displaystyle{ P}$ od prostych zawierających boki prostokąta wynosi: $\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}$

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 17 kwie 2015, o 01:09

Niech prostokąt nazywa się $\displaystyle{ ABCD}$. Bez straty ogólności rozumowania, dla ustalenia uwagi załóżmy, że punkt $\displaystyle{ P}$ leży na krótszym z łuków $\displaystyle{ AB}$. Zrzutujmy punkt $\displaystyle{ P}$ na proste zawierające boki prostokąta, tj. kolejno $\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}$ otrzymując odpowiedznio punkty $\displaystyle{ A',B',C',D'}$. Zauważ teraz że $\displaystyle{ AA'PD'}$ oraz $\displaystyle{ PC'CB'}$ to prostokąty. Wobec tego jak policzymy sumę kwadratów odległości punktu $\displaystyle{ P}$ od boków to otrzymamy, że wynosi ona $\displaystyle{ PA^{2}+PC^{2}=AC^{2}=a^{2}+b^{2}}$ na mocy twierdzenia Pitagorasa.

hitback · Post autor: **hitback** » 17 kwie 2015, o 21:35

bakala12, Hej mam pytanie w sprawie "rzutowania punktu na prostą" robi się to tak, że przesuwam ten punkt prostopadle do danej prostej do momentu aż "będzie leżał" na tej prostej?

Elayne · Post autor: **Elayne** » 18 kwie 2015, o 11:09

Można też tak:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [line width=1.6pt] (4.,11.)-- (12.,11.);
\draw [line width=1.6pt] (12.,11.)-- (12.,7.);
\draw [line width=1.6pt] (12.,7.)-- (4.,7.);
\draw [line width=1.6pt] (4.,7.)-- (4.,11.);
\draw(8.,9.) circle (4.47213595499958cm);
\draw [dash pattern=on 6pt off 6pt] (4.,11.)-- (12.,7.);
\draw [dash pattern=on 6pt off 6pt] (12.,7.)-- (6.,5.);
\draw [dash pattern=on 6pt off 6pt] (6.,5.)-- (4.,11.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,5.)-- (6.,5.);
\draw [line width=1.2pt] (6.,5.)-- (12.,5.);
\draw [dash pattern=on 6pt off 6pt] (4.,7.)-- (4.,5.);
\draw [dash pattern=on 6pt off 6pt] (12.,7.)-- (12.,5.);
\draw [dash pattern=on 6pt off 6pt] (6.,7.)-- (6.,5.);
\draw [line width=0.4pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (4.,11.)-- (4.,5.);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (4.,11.) circle (1.5pt);
\draw (4.456075367914003,11.37676431861537) node {$A$};
\draw [fill=qqqqff] (12.,11.) circle (1.5pt);
\draw (12.176551786172997,11.351284198423096) node {$B$};
\draw (8.074252435216899,10.816201674385345) node {$a$};
\draw [fill=qqqqff] (12.,7.) circle (1.5pt);
\draw (12.380392747711188,7.223504727274731) node {$C$};
\draw (11.66694938232752,9.210954102272092) node {$b$};
\draw [fill=qqqqff] (4.,7.) circle (1.5pt);
\draw (4.175794045798989,7.3509053282361005) node {$D$};
\draw [fill=qqqqff] (6.,5.) circle (1.5pt);
\draw (5.959402459258163,4.471651746509154) node {$P$};
\draw (8.099732555409172,9.491235424387105) node {$c$};
\draw (8.940576521754211,6.611981842660158) node {m};
\draw (5.449800055412685,8.344630015734781) node {n};
\draw[color=black] (5.067598252528576,4.802893309008714) node {y};
\draw[color=black] (10.902545776559302,4.726452948431892) node {k};
\draw [fill=qqqqff] (6.,7.) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (6.239683781373176,7.503786049389744) node {F};
\draw[color=black] (6.239683781373176,6.357180640737419) node {l};
\draw [fill=qqqqff] (4.,5.) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (4.04839344483762,4.726452948431892) node {E};
\draw[color=black] (3.3094699592616763,6.866783044582896) node {x};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}}\)

Przyjmijmy że odcinki: $\displaystyle{ x, l, y, k}$ są odległościami punktu $\displaystyle{ P}$ od boków prostokąta (ich przedłużeniem).

Przypadek I
Punkt $\displaystyle{ P}$ jest wierzchołkiem prostokąta, np. punk $\displaystyle{ P}$ pokrywa się z wierzchołkiem $\displaystyle{ D}$ wtedy$\displaystyle{ l, y}$ są równe zeru zaś $\displaystyle{ k}$ oraz $\displaystyle{ x}$ są odpowiednio równe długościom boków prostokąta $\displaystyle{ a}$ i $\displaystyle{ b}$. Zatem suma kwadratów odległości punktu $\displaystyle{ P}$ od boków prostokąta$\displaystyle{ AB}$ i $\displaystyle{ BC}$ wynosi $\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}$.

Przypadek II
Punkt $\displaystyle{ P}$ nie należy do wierzchołka prostokąta. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
(1) trójkąt $\displaystyle{ APE: \ n^{2}=x^{2}+y^{2}}$
(2) trójkąt $\displaystyle{ FCP: \ m^{2}=l^{2}+k^{2}}$, odcinek $\displaystyle{ |FC|=k}$
(3) trójkąt $\displaystyle{ ACP: \ c^{2}=n^{2}+m^{2}}$, kąt $\displaystyle{ APC}$ jest oparty na średnicy $\displaystyle{ AC}$ będącą przekątną prostokąta zatem mamy tutaj kąt prosty.
(4) trójkąt $\displaystyle{ ABC: \ c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Jeśli dodamy stronami (1) i (2) otrzymamy:
$\displaystyle{ n^{2}+m^{2}=x^{2}+y^{2}+l^{2}+k^{2}}$
uwzględniając (3) mamy: $\displaystyle{ c^{2}=x^{2}+y^{2}+l^{2}+k^{2}}$
uwzględniając (4) mamy:
$\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=x^{2}+y^{2}+l^{2}+k^{2}}$ - to kończy dowód

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 24 kwie 2015, o 11:31

hitback pisze:bakala12, Hej mam pytanie w sprawie "rzutowania punktu na prostą" robi się to tak, że przesuwam ten punkt prostopadle do danej prostej do momentu aż "będzie leżał" na tej prostej?

No mniej więcej. Generalnie jak masz punkt $\displaystyle{ P}$ zrzutować prostopadle na jakąś prostą $\displaystyle{ a}$ to wystarczy że poprowadzisz przez punkt $\displaystyle{ P}$ prostą $\displaystyle{ b}$ prostopadłą do $\displaystyle{ a}$. Rzutem prostokątnym punkty $\displaystyle{ P}$ na prostą $\displaystyle{ A}$ nazywamy wówczas punkt przecięcia prostych $\displaystyle{ a}$ i $\displaystyle{ b}$.
Twoje sformułowanie nie jest do końca formalne, natomiast intuicyjnie jak najbardziej poprawne.