Dany jest czworokąt ABCD, na którym opisano okrąg...

[Aterwik]

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), na którym opisano okrąg. Na boku \(\displaystyle{ AD}\) tego czworokąta obrano punkt \(\displaystyle{ K}\) taki, że \(\displaystyle{ |AK| = |BC|}\), a na prostej \(\displaystyle{ AB}\), a na prostej \(\displaystyle{ AB}\) - punkt \(\displaystyle{ L}\) taki, że \(\displaystyle{ |AL| = |DC|}\) (jak na rysunku). Wykaż, że trójkąty \(\displaystyle{ LAK}\) i \(\displaystyle{ DCB}\) są przystające oraz że prosta \(\displaystyle{ AC}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ KL}\).



Z pierwszą częścią polecenia sobie poradziłem bez problemu, wystarczy skorzystać z zależności między miarami kątów w czworokącie, na którym można opisać okrąg.
Za to nijak nie mogę wpaść na sposób udowodnienia, że proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ KL}\) są względem siebie równoległe.
Proszę o pomoc

Edit: (Niepodpisany wierzchołek niebieskiego trójkąta po lewej to "\(\displaystyle{ L}\)", dopiero teraz zauważyłem, że uciąłem kawałeczek obrazka)

[AndrzejK]

Spróbuj wykazać, że kąty \(\displaystyle{ BAC}\) oraz \(\displaystyle{ BLK}\) są równe.

[Aterwik]

@AndrzejK Dzięki za wskazówkę. W końcu udało mi się dojść do rozwiązania, ale nie jestem do końca zadowolony.
Jeśli punkt przecięcia odcinków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ DB}\) oznaczymy jako \(\displaystyle{ O}\), to korzystając z twierdzenia Ptolemeusza możemy wykazać, że trójkąty \(\displaystyle{ AOB}\) i \(\displaystyle{ DOC}\) są podobne, zatem kąty \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ CDB}\), a co za tym idzie także \(\displaystyle{ BLK}\) faktycznie są równe, co dowodzi, że proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ KL}\) są równoległe.

Problem w tym, że zadanie pochodzi z podręcznika od matematyki do liceum, więc teoretycznie nie powinno wykraczać poza program nauczania, a nie przypominam sobie, żeby na lekcjach pojawiło się kiedykolwiek coś takiego jak twierdzenie Ptolemeusza. Znalazłem je dzisiaj w internecie próbując rozwiązać właśnie to zadanie. Wydaje mi się więc, że musi istnieć jakiś inny, prostszy sposób, ale nie mogę na niego wpaść.

AndrzejK, udało ci się może rozwiązać to zadanie innym sposobem? A może ktoś inny ma jakiś pomysł?

[bakala12]

Aterwik, oto rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \angle ALK = \angle BDC}\) (z przystawania trójkątów z części 1)
\(\displaystyle{ \angle BDC=\angle BAC}\) (kąty wpisane oparte na jednym łuku)
Stąd \(\displaystyle{ \angle ALK=\angle BAC}\) a to implikuję tezę natychmiast.

Jeśli punkt przecięcia odcinków AC i DB oznaczymy jako O, to korzystając z twierdzenia Ptolemeusza możemy wykazać, że trójkąty AOB i DOC są podobne

Raczej na pewno nie chodziło Ci o twierdzenie Ptolemeusza, bo ono nic a nic o tym co napisałeś nie mówi. No ale może jestem mało domyślny i nie widzę jak to podobieństwo wynika z twierdzenia Ptolemeusza, ale na pewno nie w oczywisty (prosty) sposób.

[Aterwik]

bakala12, Nie, nie jesteś mało domyślny. To ja coś faktycznie pokręciłem z tym Ptolemeuszem. Przeanalizowałem sobie to twierdzenie jeszcze raz i widzę, że trochę źle je zrozumiałem. Źle podstawiłem do niego boki, ale jakimś przypadkiem, pewnie popełniając błąd w przekształceniach i sugerując się tym, co mam udowodnić, doszedłem do rozwiązania. Jak widać, za wcześnie się ucieszyłem.

A rozwiązanie, które podałeś, aż mnie zdziwiło swoją prostotą i oczywistością. Spodziewałem się jakiegoś dorysowywania prostych, przedłużenia odcinków albo równań na kątach, a nie zauważyłem, że kąty są oparte na tym samym łuku. Jak to mówią - najciemniej jest pod latarnią.

Dzięki za pomoc

[klamka]

Możecie wyjaśnić jak udowodnic ,że trojkat LAK DCB są przystające, bo nie bardzo umiem sobie z tym poradzić.

[Aterwik]

W treści zadania masz podane, że \(\displaystyle{ |AK| = |BC|}\) oraz \(\displaystyle{ |AL| = |DC|}\), zatem dwa boki tych trójkątów mają takie same długości. Trzeba jeszcze uzasadnić, że kąty \(\displaystyle{ LAK}\) i \(\displaystyle{ DCB}\) mają takie same miary. Przypomnij sobie, jaki warunek muszą spełniać kąty w czworokącie, aby można było na nim opisać okrąg.