Na zewnątrz równoległoboku ABCD, na jego bokach zbudowano kwadraty. Udowodnij, że środki symetrii tych kwadratów także tworzą kwadrat.
Z rachunku kątów i cech przystawania trójkątów dowiodłem, że środki symetrii tych kwadratów tworzą romb. Ale nie mam pojęcia, jak dowieść, że w tym czworokącie są kąty proste. Ma ktoś jakiś pomysł?
PS. Wiem, że to dosyć znane zadanie, ale nigdzie na znalazłem porządnego rozwiązania.
Równoległobok i kwadraty raz jeszcze
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Równoległobok i kwadraty raz jeszcze
Skoro udowodniłeś, że to romb to najszybciej byłoby skorzystać z twierdzenia van Aubela żeby to dokończyć
Ale bardziej elementarnie:
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie równoległobokiem, \(\displaystyle{ ABEF}\), \(\displaystyle{ BCGH}\) i \(\displaystyle{ CDIJ}\) kwadratami zbudowanymi na jego bokach, a \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\) odpowiednio ich środkami. Pewnie już zauważyłeś, że trójkąty \(\displaystyle{ PBQ}\) i \(\displaystyle{ QCR}\) są przystające, więc \(\displaystyle{ PQ=QR \wedge \angle BQP = \angle CQR}\).
Rozważmy obrót płaszczyzny wokół punktu \(\displaystyle{ Q}\) o kąt \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Wtedy \(\displaystyle{ C}\) przejdzie na \(\displaystyle{ B}\), a więc \(\displaystyle{ R}\) musi przejść na \(\displaystyle{ P}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle RQP=90^\circ}\).
I to już wystarcza.
Ale bardziej elementarnie:
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie równoległobokiem, \(\displaystyle{ ABEF}\), \(\displaystyle{ BCGH}\) i \(\displaystyle{ CDIJ}\) kwadratami zbudowanymi na jego bokach, a \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\) odpowiednio ich środkami. Pewnie już zauważyłeś, że trójkąty \(\displaystyle{ PBQ}\) i \(\displaystyle{ QCR}\) są przystające, więc \(\displaystyle{ PQ=QR \wedge \angle BQP = \angle CQR}\).
Rozważmy obrót płaszczyzny wokół punktu \(\displaystyle{ Q}\) o kąt \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Wtedy \(\displaystyle{ C}\) przejdzie na \(\displaystyle{ B}\), a więc \(\displaystyle{ R}\) musi przejść na \(\displaystyle{ P}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle RQP=90^\circ}\).
I to już wystarcza.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Równoległobok i kwadraty raz jeszcze
Zauważmy że trójkąty: PQA QRB RSC SPD są przystające.
- równe boki
|PA|=|PD|=|RC|=|CB|
|QA|=|QB|=|SD|=|SC|
- równe kąty
PAQ=QBR=SCR=SDP
Boki: PQ, QR, RS, SP przystających trójkątów leżą naprzeciw równych kątów więc są tej samej długości, a co za tym idzie boki czworokąta PQRS są równe. Na koniec można zbadać rozwartość kątów wewnętrznych czworokąta PQRS:
kąt PQR= kąt AQB + kąt PQA - kąt RQB = kąt AQB = 90 stopni
kąt QPS= kąt APD + kąt APQ - kąt SPD = kąt APD = 90 stopni
Czworokąt PQRS jest kwadratem gdyż ma równe boki a kąty wewnętrzne równe 90 stopniom.