iloczyn skalarny, twierdzenie sinusów

[Nickos]

Witam!
Mam problem z kilkoma zadaniami, mam nadzieję, że ktoś pomoże;)

1) Wyznacz promień okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: \(\displaystyle{ A(2,3) B(-1,3) C(3,1).}\)

2) W trójkącie ABC \(\displaystyle{ sin(kata)A= \frac{1}{3} sin (kata) \beta}\). Oblicz stosunek pól kwadratów zbudowanych na bokach BC i AC tego trójkąta.

3) Sprawdź czy kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{u}=[-3,2]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v} =[4,6]}\) jest kątem ostrym.

4) Znajdź wektor jednostkowy prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}=[2,-1]}\).

5) Wyznacz kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\), mając dane:
\(\displaystyle{ | \vec{u}|=1, |}\)\(\displaystyle{ \vec{v}|=2}\) oraz \(\displaystyle{ ( \vec{u} + \vec{v})\cdot}\) (iloczyn skalarny) \(\displaystyle{ ( \vec{u}-2 \vec{v} ) = \sqrt{2} - 7}\)

Ad.3
\(\displaystyle{ cos(kata)( \vec{u} , \vec{v} ) = \frac{(-3 \cdot 4)+(2 \cdot 6)}{ \sqrt{ (-3^{2}+ 2^{2}} \cdot \sqrt{4^{2}+6^{2}} } = \frac{0}{ \sqrt{676}}=0}\)

zatem:

\(\displaystyle{ \vec{u} \cdot _{(iloczyn skalarny)} \vec{v} =0 \Rightarrow 90^{o}}\)

Nie wiem czy dobrze to zrozumiałem.

Ad.4

zał.:
\(\displaystyle{ \vec{v} \cdot _{(iloczyn skalarny)} \vec{u}=0}\)
-------------------------
\(\displaystyle{ \vec{u} =[2,1]}\) \(\displaystyle{ \vec{v} =[v_{x} , v_{y}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{v} \cdot _{(iloczyn skalarny)} \vec{u}= 2 \cdot Vx+1 \cdot Vy =0}\) - i co dalej??:)

Proszę o pomoc:)

[szachimat]

Ad 1
\(\displaystyle{ R= \frac{a \cdot b \cdot c}{4P}}\)

Ad 3
Znasz wzór na iloczyn skalarny (co widać w zadaniu 4), a zatem szybciej będzie napisać "\(\displaystyle{ -3 \cdot 4+2 \cdot 6=0}\)", czyli kąt ma miarę 90 stopni.-- 6 kwi 2015, o 22:22 --Ad 4
Wygodniej mi będzie zapisać zamiast \(\displaystyle{ 2 \cdot Vx+1 \cdot Vy =0}\): "\(\displaystyle{ 2a-b=0}\)" (u siebie zgubiłeś minus).
Dołóż jeszcze równanie \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}=1}\), czyli \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) i wyznacz współrzędne a i b wektora szukanego (będą dwa).

Ad 2
Wykorzystaj tw. sinusów i zapisz je w postaci: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{sin \alpha }{sin \beta }}\)
Podstaw za \(\displaystyle{ sin \beta =3sin \alpha}\) i wyznacz \(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}}\).

[Nickos]

Ad.1, Ad.2, Ad.3 już rozumiem (dziękuję)

Natomiast Ad.4 to ma być tak?:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b=0 \\ \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{cases}}\)

czyli

\(\displaystyle{ a= \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{2}{3}}\)

[szachimat]

Ad.1, Ad.2, Ad.3 już rozumiem (dziękuję)

Natomiast Ad.4 to ma być tak?:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b=0 \\ \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{cases}}\)

czyli

\(\displaystyle{ a= \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{2}{3}}\)

Źle - pewnie z tego powodu, że przyjmujesz \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\) jako \(\displaystyle{ a+b}\), a to jest nieprawda.

[Nickos]

hmm..
czyli to ma być tak?

\(\displaystyle{ b=2a}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2a^2}=1}\)

więc:

\(\displaystyle{ a= \frac{1}{ \sqrt{5} }}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{2}{ \sqrt{5} }}\)

Jeżeli nie tak, to ja już nie wiem.

a i jeszcze zad. 5 jak jest ktos wstanie pomóc to bd bardzo wdzięczny;)

[szachimat]

Prawie tak, tylko w związku z tym, że \(\displaystyle{ a= \pm \frac{1}{ \sqrt{5} }}\) jest jeszcze drugi wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{v} =[-\frac{1}{ \sqrt{5} } , - \frac{2}{ \sqrt{5} }]}\)