Witajcie, mam dwa zadania, które nie wiem jak ruszyć, męczę się z nimi kilka ładnych godzin:
Wykaż, że jeżeli punkt M jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, to trójkąty ABM,ACM, oraz BCM mają równe pola.
Wykaż, że środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.
Proszę o pomoc z tymi zadaniami
Środkowe trójkąta
-
macik1423
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R do M
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 234 razy
Środkowe trójkąta
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Jeśli oznaczymy sobie boki trójkąta \(\displaystyle{ a,b,c}\) i odpowiednio wysokości opuszczone na nie wysokości \(\displaystyle{ h_{1},h_{2},h_{3}}\).
Pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1}=\frac{1}{2}b\cdot h_{2}=\frac{1}{2}c\cdot h_{3}}\).
Z twierdzenia Talesa widać, że wysokość trójkąta ABM jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h_{1}}\), podobnie dla pozostałych trójkątów. Ich pola są równe \(\displaystyle{ P_{1}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{3}h_{1}, P_{2}=\frac{1}{2}b\cdot \frac{1}{3}h_{2}, P_{3}=\frac{1}{2}c\cdot \frac{1}{3}h_{3}}\).
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\cdot h_{1}=\frac{1}{2}b\cdot h_{2}=\frac{1}{2}c\cdot h_{3} \quad /\cdot \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}a\cdot h_{1}}_{P_{1}}=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}b\cdot h_{2}}_{P_{2}}=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}c\cdot h_{3}}_{P_{3}}}\), czyli dostajemy to co trzeba było udowodnić.
Jeśli oznaczymy sobie boki trójkąta \(\displaystyle{ a,b,c}\) i odpowiednio wysokości opuszczone na nie wysokości \(\displaystyle{ h_{1},h_{2},h_{3}}\).
Pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1}=\frac{1}{2}b\cdot h_{2}=\frac{1}{2}c\cdot h_{3}}\).
Z twierdzenia Talesa widać, że wysokość trójkąta ABM jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h_{1}}\), podobnie dla pozostałych trójkątów. Ich pola są równe \(\displaystyle{ P_{1}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{3}h_{1}, P_{2}=\frac{1}{2}b\cdot \frac{1}{3}h_{2}, P_{3}=\frac{1}{2}c\cdot \frac{1}{3}h_{3}}\).
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\cdot h_{1}=\frac{1}{2}b\cdot h_{2}=\frac{1}{2}c\cdot h_{3} \quad /\cdot \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}a\cdot h_{1}}_{P_{1}}=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}b\cdot h_{2}}_{P_{2}}=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}c\cdot h_{3}}_{P_{3}}}\), czyli dostajemy to co trzeba było udowodnić.