okrąg i półkola

[malwinka1058]

W półkolu o o średnicy AB=2R narysowano dwa przystające i zewnętrznie styczne półkola o1 i o2, których środki leżą na odcinkach AB, i które są wewnętrznie styczne do półkola o. Oblicz promień okręgu o3, który jest styczny do o1, o2 i o.

[Dilectus]

1. Zrób rysunek i oznacz:

• \(\displaystyle{ P}\) - środek półkola \(\displaystyle{ O}\)

• \(\displaystyle{ P_1, - P_2, \ P_3}\) - środki półkoli \(\displaystyle{ O_1, \ O_2, \ O_3}\)

• \(\displaystyle{ d}\) - długość odcinka \(\displaystyle{ O, \ O_3}\)

2. Narysuj trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ O_1, \ O_2, \ O_3}\). Zauważ, że podstawa \(\displaystyle{ O_1, \ O_2}\) tego trójkąta ma długość długość równą podwojonemu promieniowi półkola \(\displaystyle{ O_1 \ \text{lub} \ O_2}\), a więc \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{R}{4}}\). Ramiona tego trójkąta są zaś równe sumie promieni okręgów \(\displaystyle{ O_1 \ \text{i} \ O_3}\)

Z tw. Pitagorasa mamy:

\(\displaystyle{ d^2+\left( \frac{R}{4} \right)^2=\left( \frac{R}{4}+R_3\right)^2}\)

Zauważmy też, że

\(\displaystyle{ d+R_3=R}\)

Mamy więc do rozwiązania układ równań z dwiema niewiadomymi - \(\displaystyle{ R_3 \ \text{i} \ d}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} d^2+\left( \frac{R}{4} \right)^2=\left( \frac{R}{4}+R_3\right)^2 \\ d+R_3=R \end{cases}}\)

Rozwiązanie tego układu daje nam promień okręgu \(\displaystyle{ O_3}\)

\(\displaystyle{ R_3= \frac{2}{5}R}\)



P.S. Wartość niewiadomej \(\displaystyle{ d}\) leży poza sferą naszych zainteresowań.

[malwinka1058]

dziekuje bardzo! ;d