przekątne w trapezie prostopadłe

[hitback]

Oblicz dlugość wysokości trapezu równoramiennego o polu \(\displaystyle{ a^{2}}\) wiedząc ,że jego przekątne są prostopadłe.
Z góry dzięki za pomoc.

[bakala12]

Czym jest \(\displaystyle{ a}\)?

[hitback]

Po prostu tak zostało oznaczone pole trapezu jako : a^{2}

[Ania221]

Pole trapezu z przekątnych
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} d^2=a^2}\)
stąd \(\displaystyle{ d^2=2a^2}\)
Jeśli podstawy trapezu oznaczymy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to po opuszczeniu wysokości w pkt \(\displaystyle{ E}\) mamy trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ h}\), \(\displaystyle{ d}\) , \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{x+y}{2})^2+h^2=2a^2}\)
Pole trapezu

\(\displaystyle{ \frac{x+y}{2} \cdot h=a^2}\)
Mamy układ równań, gdzie \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}=w}\) czyli z dwoma niewiadomymi, \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ h}\)
Po rozwiązaniu
\(\displaystyle{ h=a}\)

Co właściwie było do przewidzenia, bo przecież jeśli pole jest równe \(\displaystyle{ a^2}\) tzn że przekątne trapezu sa przekątnymi kwadratu...

[hitback]

Nie rozumiem jak przekątne trapezu są zarazem przekątnymi kwadratu

[Ania221]

Kwadrat też jest trapezem przecież, ma dwie równoległe podstawy. Podobnie jak prostokąt, równoległobok.

[hitback]

No ale przecież nie każdy trapez jest kwadratem. Nie wiem zapętliłem się już. Nie rozumiem tego.

[piasek101]

Nie możemy zakładać, że to kwadrat.

Podstawy \(\displaystyle{ 2x; 2y}\) wtedy wysokość to \(\displaystyle{ x+y}\) i pole \(\displaystyle{ 0,5(2x+2y)(x+y)=a^2}\)

Czyli \(\displaystyle{ (x+y)^2=a^2}\)

[SlotaWoj]

Dla trapezu równoramiennego o podstawach \(\displaystyle{ a}\) , \(\displaystyle{ b}\) , bokach \(\displaystyle{ c}\) i kącie między przekątnymi \(\displaystyle{ \phi}\) :

• \(\displaystyle{ S=\left(c\cos\phi+a\right)\mbox{·}c\sin\phi}\)

[Ania221]

Ja nie założyłam, że to kwadrat.
Tak wyszło z obliczeń.

[piasek101]

Ale to wcale nie musi być kwadrat - więc nie powinno to wyjść z obliczeń.

[SlotaWoj]

Jeżeli \(\displaystyle{ a^2}\) nie jest kwadratem dłuższej podstawy trapezu, tylko dowolna liczba nie związaną z trapezem i gdy oznaczymy podstawy trapezu przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (tak jak Ania221), to warunki zadania spełnia dowolny trapez, w którym:

• \(\displaystyle{ h=\frac{x+y}{2}=a}\)

Takich trapezów jest nieskończenie wiele.

[Ania221]

Rzeczywiście, muszę to jeszcze przemyśleć.