Dowód - trójkąt

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
macikiw2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 28 lis 2012, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Daleko
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 4 razy

Dowód - trójkąt

Post autor: macikiw2 »

W trójkącie ABC poprowadzono przez punkt A prostopadłą do boku AB, a przez punkt C prostopadłą do boku BC. Obie proste przecinają się w punkcie D. Wykaż, że punkty B i D są równo oddalone od symetralnej boku AC tego trójkąta.

+
Mam pytanie z innej beczki . Z czego to wynika ?
\(\displaystyle{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}=2ab \cos \alpha +2ac \cos \beta +2bc \cos \beta _{2} \Rightarrow a^{2}+ b^{2}+ c^{2}< 2ab+2ac+2bc \Rightarrow a^{2}+ b^{2}+ c^{2}<6(ab+ac+bc) \Leftrightarrow 3(a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+2ab+2ac+2bc)>4(a^{2}+ b^{2}+ c^{2})}\)

Nie rozumiem tych przekształceń...
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1565
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

Dowód - trójkąt

Post autor: Gouranga »

wygląda jak twierdzenie cosinusów dla wszystkich 3 kątów z poprzerzucanymi na różne strony składnikami
macikiw2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 28 lis 2012, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Daleko
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 4 razy

Dowód - trójkąt

Post autor: macikiw2 »

To widzę tylko na jakiej zasadzie pominięto cosinusy i zrobiona z równości nierówność a potem przerzucono na jedną stronę \(\displaystyle{ 2ab}\) itd. bez zmian znaku, za to zmieniono nierówność na \(\displaystyle{ >}\). Może prościej będzie jeśli podam treść zadania .

Udowodnij że w każdym trójkącie \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność :

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} \left( a+b+c\right) }{2}> \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Dowód - trójkąt

Post autor: Zahion »

Skoro są to kąty w trójkącie i liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są dodatnie to \(\displaystyle{ 2ab > 2ab \cos \alpha}\), ponieważ \(\displaystyle{ 1 > \cos \alpha}\). Stąd oczywiście sumując trzy takie nierówności mamy, ze \(\displaystyle{ 2ab + 2bc + 2ac > ...}\).
ODPOWIEDZ