Zadanie z trapezem równoramiennym opisanym na okręgu

[Kamila]

Na okręgu o promieniu długości r opisano trapez równoramienny. Znajdź długość ramienia tego trapezu wiedząc, że jedna z podstaw tego trapezu ma 5 cm długości.

Proszę o pomoc

[Zlodiej]

Trzeba zrobić sobie porządny rysunek .

Niech A,B,C,D będą wierzchołkami trapezu równoramiennego. O to srodek okręgu wpisanego. E,F,G,H to odpowiednio na odcinkach AB,BC,CD,DA punkty styczności okręgu z trapezem.

Mamy informacje:

AB=5 lub CD=5;
EO=FO=GO=FH=r;

Ponieważ kąty OEB, OFB, OGC,OHA są proste otrzymujemy natychmiast równośći:

GC=FC, EB=FB (ze względu na symetryczność zajmijmy się tylko 1 połową trapezu).

Niech K będzie rzutem C na podstawe AB. Oznaczmy sobie:

GC=FC=x oraz EB=FB=y.

Zauważ, że KB=y-x oraz, BC=x+y (czego właśnie szukamy).

Ponieważ trójkąt KBC jest prostokątny korzystamy z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ CK^2+KB^2=BC^2\\4r^2+(y-x)^2=(x+y)^2\\r^2=xy}\)

Wystarczy zauważyć, że x=2,5 lub y=2,5. Niech x=2,5 mamy wtedy \(\displaystyle{ r^2=2,5y\\y=\frac{2r^2}{5}}\)

Długość ramienia BC, a co za tym idzie AD wynosi \(\displaystyle{ x+y=2,5+\frac{2r^2}{5}}\)

[Kamila]

Zaczynam już łapać, ale za nic nie rozumiem, czemu GC=FC, EB=FB
Może mam zły rysunek?

[Zlodiej]

Trójkąty OFC i OGC są prostokątne. Dodatkowo mamy równość 2 boków (OC bo jest wspólny) oraz OF=OG (bo to promień okręgu wpisanego). Z tych faktów mamy równość 3ciego boku czyli FC=GC ...

Ewentualnie masz zły rysunek:

AB - podstawa dolna trapezu
CD - podstawa górna trapezu

E leży na AB, F na BC, G na CD, a H na AD